集中量數

算術平均數是全部數據的算術平均，又稱均值，符號為M（Mean）。算術平均數是集中趨勢作主要的測度值，在統計學中具有重要地位， 是進行統計分析和統計推斷的基礎。它主要適用於數值型數據，但不適用品質數據。根據表現形式的不同，算術平均數有不同的計算形式和計算公式。其中，算術平均數是加權平均數的一種特殊形式（它特殊在各項全相等），在實際問題中，當各項權不相等時，計算平均數時就要採用加權平均數，當各項權相等時，計算平均數就要採用算數平均數。兩者不可混淆。

簡單算術平均數主要用於未分組的原始數據。設一組數據為X1，X2，...，Xn，簡單的算術平均數的計算公式為：

M=(X1+X2+...+Xn)/n

例如，某銷售小組有5名銷售員，元旦一天的銷售額分別為520元、600元、480元、750元和500元，求該日平均銷售額。

平均銷售額=（520+600+480+750+500）/5=570（元）

計算結果表明，元旦一天5名銷售員的平均營業額為570元。

拓展：一組數據X1,x2...Xn在數a上下波動，則，原數據分別減掉a，得到一組新數據

X1'=X1-a X2'=X2-a .......Xn'=Xn-a

所以X1=X1'+a X2=X2'+a........Xn=Xn'+a

所以：平均數=（X1+X2+....+Xn）/n

將上面的 X1'=X1-a X2'=X2-a .......Xn'=Xn-a 代入

得到了：（X1'+X2'+....+Xn'）/n+a

即=x'拔+a

所以：x拔=x'拔+a

算數平均數具備了良好集中量數應具備的一些條件：

1、集中量數

2、反應靈敏

3、確定嚴密

4、簡明易解

5、計算簡單

6、適合進一步演算

7、較小受抽樣變化的影響等優點。

同時也存在一定的缺點，限制了它的使用：

1、算術平均數易受極端數據的影響，這是因為平均數反應靈敏，每個數據的或大或小的變化都會影響到最終結果。

2、若出現模糊不清的數據時，無法計算平均數。 ^[1] 

1、同質性數據

2、平均數與個體數值相結合考慮

3、平均數於方差、標準差相結合考慮

中數（Median），又名中位數。 對一組數進行排序後，正中間的一個數（數字個數為奇數）；或者中間兩個數的平均數（數字個數為偶數）。

中數是按順序排列在一起的一組數據中居於中間位置的數，即在這組數據中，有一半的數據比它大，有一半的數據比它小。這個數可能是數據中的某一個，也可能根本不是原有的數。

1、計算簡單

2、容易理解

3、不受極端值影響

1、反應不夠靈敏

2、 受抽樣影響較大

3、中數乘以總次數於總數不相等

4、不能進一步代數運算

1、需要快速估算集中值時

2、有極端數據時

3、有模糊不清楚的數據時

眾數（Mode），一組數據中出現次數最多的數值，叫眾數，用M表示。

（一）、根據單項數列求眾數，不需要任何計算，可以直接從分配數列中找出出現次數或頻率最大的一組標誌值，就是所求的眾數。

（二）、對組距數列求眾數。對眾數的計算有兩種公式：

1、上限公式：

2、下限公式

其中：

f表示眾數所在組次數；

f-1表示眾數所在組前一組的次數；

f+1表示眾數所在組後一組的次數；

L表示眾數所在組組距的下限；

U表示眾數所在組組距的上限；

i表示組距；

1、簡單明瞭

2、容易理解

1、不穩定，受分組和樣本變動影響

2、反應不靈敏

3、不能進一步做代數運算

1、需要快速估算一組數據集中值時。

2、數據不同質時

3、兩極端有極端值時

4、快速估計分佈形體時

在一個正態分佈中，平均數、中數、眾數三者相等，因此在數軸上三個

集中量數完全重合，在描述這種次數分佈時，只需報告平均數即可。

在正偏態分佈中M＞M_d＞M_o

在負偏態分佈中M<M_d<M_o

M即平均數，M_d即中數，M_o即眾數