阿拉伯數學

在數學史上，阿拉伯數學（又稱伊斯蘭數學）指的是公元8～15世紀在伊斯蘭教及其文化占主導地位的地區，產生、發展和繁榮起來的數學理論與數學實踐。一般認為，這段歷史跨越大約700年的時間——從公元750年至1450年（雖然其最早的數學著作約成書於公元825年）。 ^[1]  在地理疆域上，其範圍從伊比利亞半島開始，穿過北非和中東，到達亞洲的中部，還包括印度的一部分。儘管這一時期的數學著作是由包括波斯語、土耳其語、希伯來語等在內的眾多語言寫成的，但絕大多數著作仍採用阿拉伯語進行書寫。 ^[2] 

公元727年，阿拔斯帝國遷都巴格達，其第二任哈里發曼蘇爾（al-Mansūr，公元754～775年在位）仿效波斯舊制，建立起了完整的行政體制。在隨後100年時間裏，特別是第五任哈里發哈倫·拉希德（Harun al-Rashid，公元786～809年在位）和第七任哈里發馬蒙（al-Māmūn，公元813～833年在位）執政時期是阿拉伯帝國的極盛時期，其科學文化從此進入了繁榮昌盛階段。 ^[3] 

哈里發哈倫·拉希德在巴格達建立了一座圖書館，並從近東地區各類學術機構收集了大量抄本，這些機構是由那些為躲避古代雅典和亞歷山大學術界迫害的學者們建立的。收集的抄本中包括許多古希臘科學文獻，接下來的工作便是將它們翻譯成阿拉伯語。後來的哈里發馬蒙創建了一個名為“智慧宮”（House of Wisdom，Bayt al-Hikma）的研究機構，並一直保存了200多年。在此期間，大批的學者被邀請或聚集到這裏把大量的文獻翻譯成阿拉伯文。在翻譯過程中，他們對許多文獻重新進行了校訂、考證、勘誤、增補和註釋，其中包含歐幾里得（Euclid，約公元前330～前275年）、阿基米德（Archimedes，公元前287～前212年）等希臘學者的著作，當然還有印度學者的著作。這些阿拉伯譯本成為後來歐洲人瞭解古希臘數學的主要來源。

中世紀的阿拉伯在世界科學技術發展進步的過程中，其扮演的角色絕不僅僅是簡單的信息傳遞者，而是披荊斬棘的尋路者和踏浪前行的引路者。

從世界文明史的角度出發，當古希臘文明衰落，在世界範圍內接過科學文明接力棒的是中世紀的阿拉伯文明。阿拉伯人在保存和傳播希臘、印度甚至中國的文化，最終為近代歐洲的文藝復興準備學術前提方面作出了巨大貢獻。

從數學史的角度出發，雖然阿拉伯數學家們保留並繼承了古希臘數學經典，但其既非古希臘、印度數學的收藏家，也不是缺乏獨創精神的模仿者。阿拉伯數學家們在算術、代數學、幾何學和三角學等領域都作出了重要貢獻。

13至15世紀，由於蒙古人的入侵和歐洲發動的十字軍東征使得中世紀阿拉伯帝國的逐漸衰落，伴隨着歐洲文藝復興運動的推進，阿拉伯人保留和發展的東西方數學知識，伴隨着大量的阿拉伯數學著作被翻譯成拉丁文在歐洲傳播開來，為人類近現代數學的產生和發展奠定了基礎。

印度數學中的十進位值制記數體系於9世紀傳入巴格達，許多阿拉伯數學家都描述過該記數體系及其相應的運算法則。現已知介紹該體系最早的著作是花拉子密（Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī，約公元783～850年）於825年所著的《印度算法》(Hindu Reckoning)。

一般認為十進制小數首次出現於阿布·哈桑兀忽裏得（Abū’l-Hasanal-Uqlīdisī）於公元952年完成的《印度算術》（The Book of Chapters on Hindu Arithmetic）一書中，同時書中還介紹了計算工具從土板到紙筆的過渡。出生於975年的阿拉伯數學家伊本·拉班（ibn Labbān）撰寫過一部名為《印度計算法則》（Principles of Hindu Reckoning）的著作，該書成為阿拉伯世界最重要的算術著作之一。

除了加減乘除等基本的算術方法外，阿拉伯數學家們在開方運算方面也取得了重要成果。11世紀初凱拉吉（al-Karaji，公元953～約1029年）在其所著書中給出了由二項式係數所構成的“算數三角形”。凱拉吉關於此部分的原著已經遺失，但幸運的是此部分內容保存在12世紀薩馬瓦爾（al-Samaw’al，約公元1130～約1180年）的著作中，並且將其應用於高次開方問題。15世紀初波斯數學家阿爾·卡西（Jamshīd al-Kāshī，約公元1380～1429年）在其1427年所著的《算術之鑰》（The Reckoners’Key）前三卷中給出了多道高次開方問題，甚至還有一道求44240899506197的5次方根問題，這種開方算法本質上與中國宋元時期“增乘”開方法，以及較晚時候在歐洲出現的“霍納－魯菲尼”算法相同。

文藝復興時期的意大利數學家斐波那契（Fibonacci，公元1170～1250年）將印度－阿拉伯數字引入歐洲，使其最終取代了當時歐洲使用的繁雜的羅馬數字。同時，歐洲人還接受了基於十進位制值計數系統的算術系統。

“代數（algebra）”一詞源於阿拉伯語“al-jabr”，它最早出現在花拉子密的《還原與對消之書》(kitāb al-jabrwa-al-muqābala)（約820年）中，該書簡稱《代數學》。書中處理含有未知數的問題，先設未知數為“物”，即今x，隨後根據題意列方程。在方程化簡過程中便涉及“還原與對消”，相當於今天的移項與合併同類項。當時花拉子密僅考慮含有正根的方程，則所有二次及以下方程可化為如下六種形式之一：

對於方程求解，尤其是後三種方程，花拉子密給出與今天相同的公式解法。該書確立了後世代數學中：方程化簡和方程求解這兩條主要發展脈絡。花拉子密的工作很快被阿布·卡米爾（Abū Kāmil，約公元850~930年）等阿拉伯數學家繼承並發展。後來，斐波那契參閲了卡米爾的代數學著作並撰寫了《計算之書》，該書系統介紹了印度－阿拉伯數碼，二次和三次方程以及不定方程理論，對改變歐洲數學的面貌產生了很大影響，並最終引導了16世紀意大利代數方程公式求解方向的突破。

在方程化簡領域首先取得突破性進展的是凱拉吉，他首次給出了：

的定義，並指出其可以擴展到任意正整數指數冪，同時還利用倒數的概念將其擴展到任意負整數指數冪。隨後凱拉吉提出了“算術化代數”的概念，即系統地將加、減、乘、除、比例和開方這幾種算術方法應用於代數表達式。

首先在一般高次方程求解領域有所突破的是奧馬爾·海亞姆（Omar Khayyam，公元1048~1131年），他在約1070年完成的《代數論》（The Algebra）中給出了三次及以下全部25種方程的分類，且均給出了基於希臘數學知識的幾何解法，尤其是對其中的13類方程分別利用兩條圓錐曲線相交的方法給出其幾何解，本質上是利用圓錐曲線交點對方程的解進行定性描述。海亞姆的繼任者薩拉夫丁·圖西（Sharaf al-Dīn al-Tūsī，公元1135~1213年）在1209年完成的《方程》（The Equation）一書中，對海亞姆的方程理論進行了全面的繼承與發展，由於不滿足於利用圓錐曲線交點對於方程解“定性的描述”，圖西在方程的“定量數值解”方面邁出了重要一步。

9世紀下半葉巴努·穆薩（Banū Mūsā）三兄弟同才華橫溢的語言學家、數學家塔比·伊本·庫拉（Thābit ibn Qurra，公元826~901年）在巴格達合作，將許多希臘經典幾何學著作翻譯成阿拉伯語。到9世紀末，不僅有相對基礎的歐幾里得《原本》（Elements），甚至連阿基米德《論球與圓柱》（On the Sphereand the Cylinder）、阿波羅尼奧斯的《圓錐曲線論》（Conics）這樣難度較大的幾何學著作在阿拉伯世界都有很好地流傳。

《原本》中的許多作圖問題引起了阿拉伯數學家們的興趣，例如阿布·瓦法（abū al-Wafā，公元940~998年）利用張角固定的圓規作正五邊形。海什木（al-Haytham，公元965~1040年）不僅試圖對當時已經遺失的阿波羅尼奧斯《圓錐曲線論》第八捲進行復原，還創建了關於旋轉拋物體的體積理論。由於圓錐曲線源於理論問題以及實際天文觀測中日晷或特殊形式星盤的設計問題，所以數學家們很自然地將注意力集中到一種名為“完美圓規”儀器的設計上，這種儀器可以使人們像旋轉普通圓規作圓那樣繪製圓錐曲線。得益於數學家們設計的這種儀器和大量幾何學知識的普及，阿拉伯的工匠們將之運用到了鑲嵌工藝中，同時還可以在木頭或瓦片上繪製出精美的幾何圖案。

此外，在阿拉伯數學家評註《原本》的過程中，不少學者對書中的“第五公設”產生了興趣，並試圖證明這一公設。學者們對該問題的研究一直持續到中世紀，在此期間就連奧馬爾·海亞姆和13世紀的納西爾丁·圖西（Nasīr al-Dīn al-Tūsi，公元1201~1274年）這樣著名的數學家也參與到其證明中。阿拉伯學者關於第五公設證明的嘗試，誘發了後世歐洲學者在這方面的興趣，對非歐幾何的誕生有一定的影響。 ^[4] 

印度天文學和數學著作《婆羅摩修正體系》（Brāhma Sphuṭa−Siddhānta）於772年被翻譯成阿拉伯語。與希臘人相比，印度數學家們通過用正弦代替全弦，從而在三角學領域取得了重要的進步，阿拉伯學者同樣繼承了印度數學家的這一傳統。另外伴隨着托勒密《天文學大成》（Almagest）於8世紀末首次翻譯為阿拉伯語，自此希臘天文學知識開始在阿拉伯學者間傳播。

早期在三角學領域進行研究的是馬哈尼（al-Māhānī，卒於865年），他是球面三角學的第一位修訂者，同時在確定方位角的運算中應用了一條相當於球面餘弦定理的理論。9世紀下半葉，在哈巴斯·哈希卜（Ḥabaš al-Ḥāsib）的作品中發現的對正切函數概念和特性的描述。哈提姆（al-Faḍl b. Ḥātim an-Nairīzī，卒於1041年）使用球面三角學的餘切定理來尋找“奇伯拉”(qibla)的方向，可以準確計算出從地表任何給定位置到麥加的偏角。此外梅內勞斯的“完全四邊形”（complete quadrilateral）和托勒密的“橫截定理”（transversal theorem）理論在阿拉伯世界取得了長足的發展，其中塔比·伊本·庫拉、納西爾·本·伊拉克（Abū Naṣr b. ͑Irāq，10世紀下半葉）和納西爾丁·圖西在此問題上都有所研究。

阿拉伯三角學於公元10世紀末迎來了首次重要突破，阿布·瓦法、希德爾·胡堅迪（Ḥāmid b. al-Ḫiḍr al-Ḫuğandī，約公元940～約1000年）和阿里·本·伊拉克（Alī Ibn ͑Irāq，約公元970~1036年）幾乎同時發現了球面三角形中邊與角的函數關係。後來比魯尼（al-Bīrūnī，公元973~1048年）在其著作中對此進行細緻描述，同時他準確地測量出巴格達與伽色尼兩地間的經度差，這開啓了地球表面數理測量的新紀元。

此外納西爾丁·圖西建立了平面三角學中完整的三角學理論，他認為三角學不應該僅僅被視為天文學的計算工具，而應獨立成為一個研究分支。其著作《論完全四邊形》（Treatiseon the Quadrilateral）就是一部脱離天文學系統的三角學專著，該書對15世紀歐洲三角學的發展起着非常重要的作用。