閘函數

閘函數(barrier function)是用來界定區域邊界性狀的一種函數。設

是

上一點，如果

中存在函數

滿足條件：

1.

在

中是上調和的；

2.在

中，

則稱

是

中調和算子的正則點，稱

為

中調和算子在

點的閘函數。如果有界區域

在ξ點上滿足外部球條件， 那麼函數

就是調和算子在點ξ的閘函數 ^[1]  。

正則邊界點(regular boundary point)是一類邊界點。所謂正則邊界點，是指

的一個開集ω的邊界點

，使得以

上每個具有緊支集的連續函數f為邊界值的廣義狄利克雷問題的解在

的邊界值與

一致，這等價於

(或

)在

不瘦。當

時，這等價於

為

(或

)的2正則點(參見“α正則點”)，故可採用維納判別法(當

時，用對數容量代替的類似判別法)。常用的充分必要判別法還有：

1. 在

存在閘函數，即存在

的開鄰域N及

內的上調和函數w>0，使得

2. 對1.中

的格林函數G，有

另外，當

時，簡單實用的充分判別法是所謂龐加萊錐條件，即存在以

為頂點的圓錐體在

的某鄰域與ω不相交 ^[1]  。

定理1設

為區域

的邊界，

在

上連續。如果點

是一個正規邊界點，則函數

在點P處連續，並且

其中

為

的上函數集。

定理2 設

為區域

的邊界，

在

上連續，如果

上的每一個點都是正規邊界點，則Dirichlet問題

的解存在。

由定理2 可知，求解Dirichlet問題就轉化為當

滿足什麼條件時，

上的每一點都是正規邊界點。這裏給出一種簡單而常見的情況：如果

在點

處滿足外球條件，且外球的球心為

，則

在

內是調和函數，在

上連續，且對

有

稱滿足此條件的函數

為

在點P處的閘函數 ^[2]  。