正態分佈曲線

正態分佈曲線是指滿足正態分佈的分佈曲線。而正態分佈（Normal distribution），也稱“常態分佈”，又名高斯分佈（Gaussian distribution），最早由A.棣莫弗在求二項分佈的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。是一個在數學、物理及工程等領域都非常重要的概率分佈，在統計學的許多方面有着重大的影響力。

正態分佈最早由A.棣莫弗在求二項分佈的漸近公式中得到。C.F.高斯在研究測量誤差時從另一個角度導出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性質。 ^[2] 

生產與科學實驗中很多隨機變量的概率分佈都可以近似地用正態分佈來描述。例如，在生產條件不變的情況下，產品的強力、抗壓強度、口徑、長度等指標；同一種生物體的身長、體重等指標；同一種種子的重量；測量同一物體的誤差；彈着點沿某一方向的偏差；某個地區的年降水量；以及理想氣體分子的速度分量，等等。一般來説，如果一個量是由許多微小的獨立隨機因素影響的結果，那麼就可以認為這個量具有正態分佈（見中心極限定理）。從理論上看，正態分佈具有很多良好的性質，許多概率分佈可以用它來近似；還有一些常用的概率分佈是由它直接導出的，例如對數正態分佈、t分佈、F分佈等。

正態分佈曲線一種概率分佈。正態分佈是具有兩個參數μ和σ^2的連續型隨機變量的分佈，第一參數μ是遵從正態分佈的隨機變量的均值，第二個參數σ2是此隨機變量的方差，所以正態分佈記作N(μ，σ^2)。 ^[3]  遵從正態分佈的隨機變量的概率規律為取μ鄰近的值的概率大，而取離μ越遠的值的概率越小；σ越小，分佈越集中在μ附近，σ越大，分佈越分散。正態分佈的密度函數的特點是：關於μ對稱，在μ處達到最大值，在正（負）無窮遠處取值為0，在μ±σ處有拐點。它的形狀是中間高兩邊低，圖像是一條位於x軸上方的鐘形曲線。當μ=0，σ^2=1時，稱為標準正態分佈，記為N（0，1）。μ維隨機向量具有類似的概率規律時，稱此隨機向量遵從多維正態分佈。多元正態分佈有很好的性質，例如，多元正態分佈的邊緣分佈仍為正態分佈，它經任何線性變換得到的隨機向量仍為多維正態分佈，特別它的線性組合為一元正態分佈。

正態分佈表達式中有兩個參數，即期望（均數）μ和標準差σ，σ²為方差。

正態分佈具有兩個參數μ和σ^2的連續型隨機變量的分佈，第一參數μ是服從正態分佈的隨機變量的均值，第二個參數σ^2是此隨機變量的方差，所以正態分佈記作N(μ,σ²)。

μ是正態分佈的位置參數，描述正態分佈的集中趨勢位置。概率規律為取與μ鄰近的值的概率大，而取離μ越遠的值的概率越小。正態分佈以X=μ為對稱軸，左右完全對稱。正態分佈的期望、均數、中位數、眾數相同，均等於μ。

σ描述正態分佈資料數據分佈的離散程度，σ越大，數據分佈越分散，σ越小，數據分佈越集中。也稱為是正態分佈的形狀參數，σ越大，曲線越扁平，反之，σ越小，曲線越瘦高。

集中性：正態曲線的高峯位於正中央，即均數所在的位置。

對稱性：正態曲線以均數為中心，左右對稱，曲線兩端永遠不與橫軸相交。

均勻變動性：正態曲線由均數所在處開始，分別向左右兩側逐漸均勻下降。

曲線與橫軸間的面積總等於1，相當於概率密度函數的函數從正無窮到負無窮積分的概率為1。即頻率的總和為100%。

正態曲線下橫軸上一定區間的面積反映該區間的例數佔總例數的百分比，或變量值落在該區間的概率（概率分佈）。不同 範圍內正態曲線下的面積可用公式計算。

正態曲線下，橫軸區間(μ-σ,μ+σ)內的面積為68.268949%。

P{|X-μ|<σ}=2Φ(1)-1=0.6826

橫軸區間(μ-1.96σ,μ+1.96σ)內的面積為95.449974%。

P{|X-μ|<2σ}=2Φ(2)-1=0.9544

橫軸區間(μ-2.58σ,μ+2.58σ)內的面積為99.730020%。

P{|X-μ|<3σ}=2Φ(3)-1=0.9974