量子計算機研究：糾錯和容錯計算

《量子計算機研究(下):糾錯和容錯計算》是關於量子計算機研究，分上、下兩冊出版。上冊是關於量子計算機原理和物理實現，下冊是關於量子糾錯和容錯量子計算。量子信息學是20世紀80年代以量子物理學為基礎，融入計算機科學、經典信息論形成的新興交叉學科，主要包括量子通信和量子計算兩個分支。《量子計算機研究(下):糾錯和容錯計算》為下冊，內容包括經典糾錯碼理論、CSS量子糾錯碼、穩定子量子糾錯碼、無消相干子空間和無消相干子系統理論、容錯量子計算、拓撲量子計算等。書後附錄內容包括量子力學概要、量子糾錯碼的羣論基礎、羣表示理論、李羣和李代數。《量子計算機研究(下):糾錯和容錯計算》兼有基礎性和系統性特色，既包含學科主要基礎理論，又系統介紹當前該領域前沿主要研究方向和動態。全書體系清晰、邏輯嚴謹、分析深入、推導詳盡。既可作為高等院校的研究生教材或教學參考書，又可供相關領域研究人員和科技工作者參考。

《量子計算機研究(下):糾錯和容錯計算》是作者在國防科技大學為研究生講授量子信息專題選講講稿的基礎上，經整理、補充、改寫而成的。《量子計算機研究(下):糾錯和容錯計算》的目標就是追蹤這一快速發展的領域，對眾多的文獻資料進行初步歸納、整理，構建一個初步的系統、體系，總結出一些規律性的、有普遍意義的結果，希望對從事該領域研究的研究生、教師以及對該領域感興趣的其他方面的專家學者起到參考和導引作用，希望借《量子計算機研究(下):糾錯和容錯計算》的出版為推動我國量子計算機研究盡一點微薄之力。

前言

第10章 經典線性糾錯碼

10.1 二元數域上的線性矢量空間

10.1.1 矢量空間

10.1.2 n長二元串集合作為矢量空間

10.2 經典線性糾錯碼概念

10.2.1 經典線性糾錯碼

10.2.2 有關線性糾錯碼的幾個基本概念

10.2.3 碼的檢錯能力

10.2.4 碼的糾錯能力

10.3 經典線性糾錯碼理論(Ⅰ)

10.3.1 羣碼

10.3.2 生成矩陣和編碼

10.3.3 系統碼

10.3.4 校驗矩陣

10.3.5 關於碼距離的定理

10.4 經典線性糾錯碼理論(Ⅱ)

10.4.1 線性糾錯碼標準譯碼錶

10.4.2 Hamming碼

10.4.3 指錯子

10.5 經典線性糾錯碼的例子——7一位碼

10.5.1 7一位線性糾錯碼的生成矩陣和校驗矩陣

10.5.2 C[7,3],C[7,4]碼

10.5.3 取核法編碼方法

10.5.4 C[7,3,4]碼和C[7,4,3]碼的譯碼錶

10.5.5 經典線性碼碼率的Hamming限

參考文獻

第11章 量子糾錯和CSS量子糾錯碼

11.1 量子糾錯概念

11.1.1 量子糾錯的特殊性

11.1.2 錯誤離散化

11.1.3 Kraus算子展開和獨立出錯模型

11.1.4 量子糾錯的基本思想

11.1.5 量子糾錯碼條件

11.2 量子糾錯碼例子——3一位重複碼和Shor-9位碼

11.2.1 糾正1一位反轉錯的3一位重複碼

11.2.2 小錯的糾正

11.2.3 相位錯的糾正

11.2.4 Shor-9位碼

11.3 CSS量子糾錯碼

11.3.1 關於經典線性糾錯碼的定理1

11.3.2 關於經典線性糾錯碼的定理2

11.3.3 CSS量子糾錯碼的原理和構造

11.4 糾正1一位錯的7一位量子CSS碼

11.4.1 糾正1一位錯的7一位量子CSS碼構造

11.4.2 7一位CSS碼的編碼線路

11.4.3 錯誤診斷和糾錯

參考文獻

第12章 穩定子量子糾錯碼

12.1 Pauli算子羣

12.1.1 Pauli算子羣概念

12.1.2 Pauli算子羣元素的性質

12.2 穩定子量子糾錯碼概念

12.2.1 Shor-9位碼的再分析

12.2.2 穩定子碼概念

12.2.3 穩定子的生成元和穩定子羣階

12.2.4 穩定子S在G〈sub〉n〈/sub〉中的中心子和正規子

12.2.5 穩定子碼空間上的邏輯操作

12.2.6 穩定子碼的指錯子

12.3 穩定子碼空間作為二元域上的線性矢量空間

12.3.1 G〈sub〉n〈/sub〉羣算子的雙矢量表示

12.3.2 雙矢量表示中的二元乘積

12.3.3 雙矢量表示中羣算子的對易關係

12.3.4 雙矢量表示中的穩定子和指錯子

12.4 穩定子碼生成矩陣的標準形式和編碼操作、邏輯操作

12.4.1 穩定子碼生成矩陣的標準形式

12.4.2 穩定子碼的邏輯算子

12.4.3 穩定子碼的編碼操作

12.5 作為穩定子碼子類的CSS碼

12.5.1 7一位CSS碼的穩定子

12.5.2 7一位CSS碼空間

12.5.3 7一位CSS碼的邏輯操作

12.5.4 7一位CSS碼的編碼線路

12.6 5一位穩定子碼

12.6.1 5一位碼的穩定子

12.6.2 5一位穩定子碼的生成元矩陣的標準形式

12.6.3 5一位穩定子碼的碼字和編碼線路

12.6.4 5一位穩定子碼的指錯子

參考文獻

第13章 無消相干子空間和無消相干子系統

13.1 無消相干子空間概念、存在無消相干子空間的Hamilton算子條件

13.1.1 無消相干子空間概念

13.1.2 存在無消相干子空間條件的Hamilton算子描述

13.1.3 獨立相互作用和集體相互作用

13.1.4 只存在相位阻尼情況下的無消相干子空間

13.2 多量子位系統的無消相干子空間

13.2.1 兩量子位系統的無消相干態

13.2.2 多量子位系統的無消相干子空間

13.2.3 多量子位系統存在無消相干子空間的定理

13.3 無消相干子空間條件的算子和表示、系統-環境非對稱耦合情況下的無消相干子空間

13.3.1 系統-環境相互作用的算子和描述、存在消相干子空間條件

13.3.2 系統-環境相互作用不具有完全對稱性情況下存在無消相干子空間條件

13.3.3 相互作用是Pauli算子羣Abel子羣的無消相干子空間的例子

13.3.4 相互作用是Pauli算子羣非Abel子羣的無消相干子空間

13.3.5 無消相干子空間和量子糾錯碼

13.4 用半羣主方程描寫系統-環境相互作用系統存在無消相干子空間條件

13.4.1 半羣主方程描寫中無消相干子空間條件

13.4.2 Hamilton算子描述和半羣主方程描述中無消相干子空間條件的差別

13.5 系統-環境相互作用算子代數、無消相干子系統

13.5.1 無消相干子空間和無消相干子系統

13.5.2 相互作用算子代數

13.5.3 完全算子代數的約化——無消相干子系統

13.5.4 無消相干子系統作為無消相干子空間

13.6 算子量子糾錯、量子糾錯標準模型

13.6.1 量子糾錯的標準模型

13.6.2 無消相干子系統

13.6.3 非幺正噪聲超算子作用下的無消相干子系統

13.6.4 非幺正量子超算子作用下存在無消相干子系統的例子

13.6.5 量子糾錯的統一理論——算子量子糾錯

13.7 尋找無消相干子系統的方法

13.7.1 非幺正量子超算子作用下存在無消相干子系統的一個例子

13.7.2 無噪聲子系統結構和尋找無噪聲子系統的方法

13.7.3 尋找非幺正量子超算子作用下存在無消相干子系統的例子

參考文獻

第14章 容錯量子計算

14.1 容錯測量和容錯恢復

14.1.1 錯誤傳播規律和容錯操作

14.1.2 7一位CSS碼的指錯子測量

14.1.3 對一般穩定子碼的指錯子測量

14.1.4 Knill指錯子容錯測量方案

14.2 容錯操作和穩定子碼的幺正操作

14.2.1 橫向操作

14.2.2 穩定子碼的幺正操作

14.3 CSS類穩定子碼上的容錯計算

14.3.1 CSS類穩定子碼1一位操作

14.3.2 CSS類碼的控制非門操作

14.3.3 7一位CSS碼的容錯操作

14.4 一般穩定子碼上的幺正操作

14.4.1 測量和一般穩定子碼的幺正操作

14.4.2 一般穩定子碼的容錯一位門操作

14.4.3 一般穩定子碼的容錯控制非門操作

14.5 一般穩定子碼容錯通用邏輯門組、Toffli門

14.5.1 Toffoli門誘導的幺正變換

14.5.2 實現Toffoli門方法

14.5.3 對7一位CSS碼Toffoli門的容錯執行

14.5.4 對於一般穩定子碼的容錯Toffoli門

14.6 量子計算容錯閾限定理

14.6.1 基本出錯率和邏輯出錯率

14.6.2 級聯碼

14.6.3 量子計算的精確性閾限定理和精確閾限估計

14.6.4 關於精確性閾限值研究

14.7 Solovay-Kitaev定理和迭代算法

14.7.1 算子距離、Solovay-Kitaev定理

14.7.2 兩個預備定理

14.7.3 Solovay-Kitaev定理的證明

14.7.4 推廣到SU(N)情況時Solovay-Kitave定理的證明

參考文獻

第15章 拓撲量子計算

15.1 拓撲量子計算的數學基礎

15.1.1 拓撲學和容錯量子計算

15.1.2 幾何相位(局域相)和拓撲相位

15.1.3 空間拓撲性質、任意子存在的可能性

15.1.4 任意子的座標交換和編織操作

15.2 辮子羣

15.2.1 辮子和辮子羣

15.2.2 辮子羣中的基本元素、Yang-Baxter關係

15.2.3 辮子羣的生成元

15.2.4 梭編織和梭編織羣

15.2.5 辮子羣的表示

15.3 量子Hall物理(Ⅰ)

15.3.1 經典Hall效應

15.3.2 量子Hall效應

15.3.3 電子在均勻電磁場中的運動、Landau能級

15.3.4 整數量子Hall效應

15.4 量子Hall物理(Ⅱ)

15.4.1 強磁場中2維電子氣、單電子運動的極座標描寫

15.4.2 Laughlin波函數

15.4.3 分數量子Hall效應的複合粒子理論

15.4.4 分數量子Hall態中準粒子激發——任意子

15.4.5 物質的拓撲相

15.5 任意子的性質(Ⅰ)

15.5.1 任意子交換和編織統計、Abel任意子和非Abel任意子

15.5.2 熔結規則

15.5.3 Ising任意子的熔結規則、編碼量子位和簡併空間維數

15.5.4 Fibonacci任意子的熔結規則、編碼量子位和簡併空間維數

15.6 任意子的性質(Ⅱ)

15.6.1 F矩陣

15.6.2 R矩陣

15.6.3 三個Fibonacci任意子的基本編織矩陣

15.7 使用Fibonacci任意子的通用量子計算

15.7.1 邏輯量子位構造

15.7.2 梭編織對拓撲量子計算的通用性

15.7.3 執行單量子位門的編織操作

15.7.4 實現兩量子位門的編織操作

15.8 拓撲態測量

15.8.1 分數量子Hall效應編織統計檢測

15.8.2 Ising任意子(系統)量子位測量

15.8.3 Fibonacci任意子(系統)量子位測量

15.9 拓撲量子計算研究的新進展和簡要評述

15.9.1 人造系統任意子理論研究

15.9.2 不需要編織操作的拓撲量子計算

15.9.3 對拓撲量子計算的簡要評述

參考文獻

附錄A1 量子物理概要

A1.1 量子力學的第一條基本假設——量子態用波函數描寫

A1.2 量子力學的第二條基本假設——量子態疊加原理

A1.2.1 量子態疊加原理

A1.2.2 矢量空間

A1.2.3 度量空間

A1.2.4 Banach空間、內積、內積空間

A1.2.5 Hilbert空間

A1.3 量子態隨時間的演化——Schr?dinger方程

A1.4 量子力學中的力學量

A1.4.1 線性Hermitian算子

A1.4.2 量子力學的第四條基本假設——力學量用線性Hermitian算子表示

A1.4.3 算子的對易關係、算子對易的物理意義

A1.4.4 電子自旋、Pauli算子

A1.5 量子測量假設

A1.5.1 量子力學的第五條基本假設——量子測量假設

A1.5.2 一般量子測量

A1.5.3 正交投影測量

A1.5.4 POVM測量

A1.5.5 Neumark定理

A1.6 量子糾纏現象

A1.6.1 量子糾纏現象

A1.6.2 EPR佯謬

A1.6.3 隱參數理論和Bell不等式

A1.7 算子代數

A1.7.1 投影算子和密度算子

A1.7.2 Banach代數

A1.7.3 C〈sup〉*〈/sup〉-代數

A1.7.4 C〈sup〉*〈/sup〉-代數的表示

附錄A2 量子信息中的羣論基礎

A2.1 羣和半羣的基本概念

A2.1.1 羣和半羣的概念

A2.1.2 羣的例子

A2.2 羣乘法表和重排定理

A2.2.1 羣乘法表

A2.2.2 重排定理

A2.3 羣的子集合

A2.3.1 子羣

A2.3.2 陪集

A2.3.3 Lagrange定理

A2.3.4 共軛元素類

A2.3.5 生成元和循環子羣

A2.4 正規子羣

A2.4.1 正規子羣

A2.4.2 中心化子

A2.4.3 商羣

A2.5 同態、同構、直積羣

A2.5.1 同態

A2.5.2 同構

A2.5.3 同態核和商羣

A2.5.4 直積羣

附錄A3 羣表示理論

A3.1 羣表示的定義

A3.1.1 羣表示的概念

A3.1.2 羣代數和羣正則表示

A3.1.3 等價表示、幺正表示定理

A3.1.4 可約表示、不可約表示

A3.2 羣不可約表示矩陣元正交性定理

A3.2.1 Schur引理1

A3.2.2 Schur引理2

A3.2.3 羣不可約表示矩陣元正交性定理的概念

A3.2.4 羣不可約表示矩陣元正交性定理的幾何解釋

A3.3 羣表示的特徵標

A3.3.1 特徵標和特徵標表

A3.3.2 羣可約表示的約化

A3.3.3 投影算子

附錄A4 李羣和李代數

A4.1 李羣的概念

A4.1.1 連續羣的概念

A4.1.2 李羣的概念

A4.1.3 李羣的例子

A4.2 李羣的無窮小算子、李代數

A4.2.1 李羣的無窮小算子

A4.2.2 有限羣元的生成、羣生成元

A4.3 李代數和李羣的表示

A4.3.1 李代數

A4.3.2 李代數的表示和李羣的表示

A4.4 幾個重要李羣的表示

A4.4.1 SO(2)羣的表示

A4.4.2 SO(3)羣的表示

A4.4.3 SO(3)羣不可約表示的特徵標和不可約表示直積的約化

A4.4.4 SU(2)羣的不可約表示

A4.4.5 SU(2)羣不可約表示的特徵標

索引 ^[1]