量子力学是描述微观尺度物质的基本物理规律的物理学理论。量子力学的现象与经典力学不同，它用概率来描述物质的动力学。虽然量子力学的现象常常违反经典力学的直觉，但是低速的（与光速相比）经典力学的理论可以由量子力学导出。物质的量子力学行为通常出现在原子尺度。量子力学是量子物理学的基础，其发展有量子化学、量子场论、量子信息学。
在经典力学中，可以连续地测量各种物理量。但是在量子力学中，各种物理量的值是离散的，并且不能无限准确地测量某几对物理量（不确定性原理）。在量子力学中，物质呈现出波粒二象性。量子力学用波函数来描述体系的状态，哈密顿量决定了体系的演化，这个关系由薛定谔方程给出。
19世纪末20世纪初，物理学界发现了很多无法用经典理论解释的实验现象，之后，量子力学逐渐从经典理论中产生。马克斯·普朗克(Max Planck)的对黑体辐射的解释、阿尔伯特·爱因斯坦(AlbertEinstein)对光电效应的解释等理解量子现象的早期理论被称为“旧量子理论”。埃尔温·薛定谔(ErwinSchrodinger)、维尔纳·海森堡(Werner Heisenberg)、保罗·狄拉克(Paul Dirac)、尼尔斯·玻尔(Niels Bohr)等人用数学工具建立的量子力学的形式理论是现代科学界常用的量子力学理论。
在量子力学理论中，物理状态可以用波函数来描述，量子态出现的概率由波函数的平方决定。
- 中文名
- 量子力学
- 外文名
- Quantum mechanics
- 应用学科
- 物理学
- 突出贡献者
- 马克斯·普朗克、阿尔伯特·爱因斯坦、埃尔温·薛定谔、维尔纳·海森堡、保罗·狄拉克
- 适用范围
- 微观低速体系
历史背景
播报编辑
19世纪末20世纪初，经典物理已经发展到了相当完善的地步，但在实验方面又遇到了一些严重的困难，这些困难被看作是“晴朗天空的几朵乌云”，正是这几朵乌云引发了物理界的变革。下面简述几个困难：
黑体辐射问题
马克斯·普朗克这里n是一个整数，h是一个自然常数。（后来证明正确的公式，应该以n+1/2来代替n，参见零点能量。）。1900年，普朗克在描述他的辐射能量子化的时候非常地小心，他仅假设被吸收和放射的辐射能是量子化的。今天这个新的自然常数被称为普朗克常数来纪念普朗克的贡献。其值：
值光电效应实验
光电效应 [1]b. 每个光电子的能量只与照射光的频率有关。
c. 入射光频率大于临界频率时，只要光一照上，几乎立刻观测到光电子。
以上3个特点，c是定量上的问题，而a、b在原则上无法用经典物理来解释。
原子光谱学
卢瑟福模型发现后，按照经典电动力学，加速运动的带电粒子将不断辐射而丧失能量。故，围绕原子核运动的电子终会因大量丧失能量而’掉到’原子核中去。这样原子也就崩溃了。现实世界表明，原子是稳定的存在着。
能量均分定理
光量子理论
量子理论是首先在黑体辐射问题上突破的。普朗克为了从理论上推导他的公式，提出了量子的概念-h，不过在当时没有引起很多人的注意。爱因斯坦利用量子假设提出了光量子的概念，从而解决了光电效应的问题。爱因斯坦还进一步把能量不连续的概念用到了固体中原子的振动上去，成功的解决了固体比热在T→0K时趋于0的现象。光量子概念在康普顿散射实验中得到了直接的验证。
玻尔的量子论
玻尔把普朗克-爱因斯坦的概念创造性的用来解决原子结构和原子光谱的问题，提出了他的原子的量子论。主要包括两个方面：
a. 原子能且只能稳定的存在分立的能量相对应的一系列的状态中。这些状态成为定态。
b. 原子在两个定态之间跃迁时，吸收或发射的频率v是唯一的，由hv=En-Em 给出。
玻尔的理论取得了很大的成功，首次打开了人们认识原子结构的大门，但是随着人们对原子认识进一步加深，它存在的问题和局限性也逐渐为人们发现。
德布罗意波
在普朗克与爱因斯坦的光量子理论及玻尔的原子量子论的启发下，考虑到光具有波粒二象性，德布罗意根据类比的原则，设想实物粒子也具有波粒二象性。他提出这个假设，一方面企图把实物粒子与光统一起来，另一方面是为了更自然的去理解能量的不连续性，以克服玻尔量子化条件带有人为性质的缺点。实物粒子波动性的直接证明，是在1927年的电子衍射实验中实现的。
实验现象
播报编辑
光电效应
1905年，阿尔伯特·爱因斯坦通过扩展普朗克的量子理论，提出不仅仅物质与电磁辐射之间的相互作用是量子化的，而且量子化是一个基本物理特性的理论。通过这个新理论，他得以解释光电效应。海因里希·鲁道夫·赫兹和菲利普·莱纳德等人的实验，发现通过光照，可以从金属中打出电子来。同时他们可以测量这些电子的动能。不论入射光的强度，只有当光的频率，超过一个临限值（截止频率）后，才会有电子被射出。此后被打出的电子的动能，随光的频率线性升高，而光的强度仅决定射出的电子的数量。爱因斯坦提出了光的量子（光子这个名称后来才出现）的理论，来解释这个现象。光的量子的能量为hν
在光电效应中这个能量被用来将金属中的电子射出（逸出功
爱因斯坦光电效应方程：
这里m是电子的质量，v是其速度，v为入射光的频率。
原子能级跃迁
20世纪初卢瑟福模型是当时被认为正确的原子模型。这个模型假设带负电荷的电子，像行星围绕太阳运转一样，围绕带正电荷的原子核运转。在这个过程中库仑力与离心力必须平衡。这个模型有两个问题无法解决。首先，按照经典电磁学，这个模型不稳定。按照电磁学，电子不断地在它的运转过程中被加速，同时应该通过放射电磁波丧失其能量，这样它很快就会坠入原子核。其次原子的发射光谱，由一系列离散的发射线组成，比如氢原子的发射光谱由一个紫外线系列（赖曼系）、一个可见光系列（巴耳末系）和其它的红外线系列组成。按照经典理论原子的发射谱应该是连续的。
1913年，尼尔斯·玻尔提出了以他命名的玻尔模型，这个模型为原子结构和光谱线，给出了一个理论原理。玻尔进一步假设电子在这些量子化轨道上运动时原子处于稳定状态，不辐射任何电磁被，只有当电子从能量为
通过吸收同样频率的光子，可以从低能的轨道，跃到高能的轨道上。
电子的波动性
德布罗意假设，电子也同时伴随着一个波，他预言电子在通过一个小孔或者晶体的时候，应该会产生一个可观测的衍射现象。1925年，当戴维孙和革末在进行电子在镍晶体中的散射实验时，首次得到了电子在晶体中的衍射现象。当他们了解到德布罗意的工作以后，于1927年又较精确地进行了这个实验。实验结果与德布罗意波的公式完全符合，从而有力地证明了电子的波动性。 [2]
电子的波动性也同样表现在电子在通过双狭缝时的干涉现象中。如果每次只发射一个电子，它将以波的形式通过双缝后，在感光屏上随机地激发出一个小亮点。多次发射单个电子或者一次发射多个电子，感光屏上将会出现明暗相间的干涉条纹。这就再次证明了电子的波动性。 [3]
从来不可能有半个电子，在这个电子的双缝干涉实验中，它是电子以波的形式同时穿过两条缝，自己与自己发生了干涉，不能错误地认为是两个不同的电子之间的干涉。值得强调的是这里波函数的叠加是概率幅的叠加而不是如经典例子那样的概率叠加，这个“态叠加原理”是量子力学的一个基本假设。 [4]
理论发展
播报编辑
理论的产生及其发展
量子力学是描述物质微观世界结构、运动与变化规律的物理科学。它是20世纪人类文明发展的一个重大飞跃，量子力学的发现引发了一系列划时代的科学发现与技术发明，对人类社会的进步做出重要贡献。
19世纪末正当经典物理取得重大成就的时候，一系列经典理论无法解释的现象一个接一个地发现了。德国物理学家维恩通过热辐射能谱的测量发现的热辐射定理。德国物理学家普朗克为了解释热辐射能谱提出了一个大胆的假设：在热辐射的产生与吸收过程中能量是以hf为最小单位，一份一份交换的。这个能量量子化的假设不仅强调了热辐射能量的不连续性，而且跟"辐射能量与频率无关，由振幅确定"的基本概念直接相矛盾，无法纳入任何一个经典范畴。当时只有少数科学家认真研究这个问题。
爱因斯坦于1905年提出了光量子说。1914年，美国物理学家密立根发表了光电效应实验结果，验证了爱因斯坦的光量子说。
爱因斯坦
1923年4月美国物理学家康普顿发表了X射线被电子散射所引起的频率变小现象，即康普顿效应。按经典波动理论，静止物体对波的散射不会改变频率。而按爱因斯坦光量子说这是两个“粒子”碰撞的结果。光量子在碰撞时不仅将能量传递而且也将动量传递给了电子，使光量子说得到了实验的证明。
光不仅仅是电磁波，也是一种具有能量动量的粒子。1924年美籍奥地利物理学家泡利发表了“不相容原理”：原子中不能有两个电子同时处于同一量子态。这一原理解释了原子中电子的壳层结构。这个原理对所有实体物质的基本粒子（通常称之为费米子，如质子、中子、夸克等）都适用，构成了量子统计力学———费米统计的基点。为解释光谱线的精细结构与反常塞曼效应，泡利建议对于原于中的电子轨道态，除了已有的与经典力学量（能量、角动量及其分量）对应的三个量子数之外应引进第四个量子数。这个量子数后来称为“自旋”，是表述基本粒子一种内在性质的物理量。
1925年，德国物理学家海森伯和玻尔，建立了量子理论第一个数学描述———矩阵力学。1926年，奥地利科学家提出了描述物质波连续时空演化的偏微分方程———薛定谔方程，给出了量子论的另一个数学描述——波动力学。1948年,费曼创立了量子力学的路径积分形式。
量子力学在高速、微观的现象范围内具有普遍适用的意义。它是现代物理学基础之一，在现代科学技术中的表面物理、半导体物理、凝聚态物理、粒子物理、低温超导物理、量子化学以及分子生物学等学科的发展中，都有重要的理论意义。量子力学的产生和发展标志着人类认识自然实现了从宏观世界向微观世界的重大飞跃。
与经典物理学的界限
1923年，尼尔斯·玻尔提出了对应原理，认为量子数（尤其是粒子数）高到一定的极限后的量子系统，可以很精确地被经典理论描述。这个原理的背景是，事实上，许多宏观系统，可以非常精确地被经典理论，如经典力学和电磁学来描写。因此一般认为在非常“大”的系统中，量子力学的特性，会逐渐退化到经典物理的特性，两者并不相抵触。因此，对应原理是建立一个有效的量子力学模型的重要辅助工具。
量子力学的数学基础是非常广泛的，它仅要求状态空间是希尔伯特空间，其可观察量是线性的算符。但是，它并没有规定在实际情况下，哪一种希尔伯特空间、哪些算符应该被选择。因此，在实际情况下，必须选择相应的希尔伯特空间和算符来描写一个特定的量子系统。而对应原理则是做出这个选择的一个重要辅助工具。这个原理要求量子力学所做出的预言，在越来越大的系统中，逐渐近似经典理论的预言。这个大系统的极限，被称为“经典极限”或者“对应极限”。因此可以使用启发法的手段，来建立一个量子力学的模型，而这个模型的极限，就是相应的经典物理学的模型。
与狭义相对论的结合
量子力学在其发展初期，没有顾及到狭义相对论。比如说，在使用谐振子模型的时候，特别使用了一个非相对论的谐振子。在早期，物理学家试图将量子力学与狭义相对论联系到一起，包括使用相应的克莱因-高登方程，或者狄拉克方程，来取代薛定谔方程。这些方程虽然在描写许多现象时已经很成功，但它们还有缺陷，尤其是它们无法描写相对论状态下，粒子的产生与消灭。通过量子场论的发展，产生了真正的相对论量子理论。量子场论不但将可观察量如能量或者动量量子化了，而且将媒介相互作用的场量子化了。第一个完整的量子场论是量子电动力学，它可以完整地描写电磁相互作用。
一般在描写电磁系统时，不需要完整的量子场论。一个比较简单的模型，是将带电荷的粒子，当作一个处于经典电磁场中的量子力学物体。这个手段从量子力学的一开始，就已经被使用了。比如说，氢原子的电子状态，可以近似地使用经典的1/r电压场来计算。但是，在电磁场中的量子起伏起一个重要作用的情况下，（比如带电粒子发射一颗光子）这个近似方法就失效了。
强弱相互作用
万有引力
至今为止，仅仅万有引力无法使用量子力学来描述。因此，在黑洞附近，或者将整个宇宙作为整体来看的话，量子力学可能遇到了其适用边界。使用量子力学，或者使用广义相对论，均无法解释，一个粒子到达黑洞的奇点时的物理状况。广义相对论预言，该粒子会被压缩到密度无限大；而量子力学则预言，由于粒子的位置无法被确定，因此，它无法达到密度无限大，而可以逃离黑洞。因此20世纪最重要的两个新的物理理论，量子力学和广义相对论互相矛盾。寻求解决这个矛盾的答案，是理论物理学的一个重要目标（量子引力）。但是至今为止，找到引力的量子理论的问题，显然非常困难。虽然，一些亚经典的近似理论有所成就，比如对霍金辐射的预言，但是至今为止，无法找到一个整体的量子引力的理论。这个方面的研究包括弦理论等。
基本理论
播报编辑
基本假设
量子力学的基本假设可以有不同的归纳方法，可将量子力学的基本原理归纳为如下五条 [9]：
1.描述微观系统的数学量是希尔伯特空间中的矢量，相差一个相位因子的两个矢量描述的是同一个状态。用归一化的右矢
2.（1）描述微观系统的物理量是希尔伯特空间中的厄米算符；（2）物理量所能取的值是相应本征算符的本征值；(3)物理量
其中
3.微观系统中直角坐标下位置算符
其中对易子定义是
4.微观系统状态
其中
5.描述全同粒子系统的态矢量，在对调任意一对粒子后，态矢量不变或差一个负号。前者被称为玻色子，后者被称为费米子。
态叠加原理
态叠加原理已经包含在五条基本假设之中，但是其物理图像值得进一步说明。系统在相同环境下，两个量子态
叠加态可以理解为：处于叠加态
位置与动量
位置算符作用在其本征右矢
其中
其中展开系数
考虑无穷小平移操作算符
由于态矢量满足归一化
其中
即
对于一个有限的位移，可以将其分解成
这是平移算符一般的表达式
下面根据无穷小平移算符的定义，来得到位置表象中动量算符的表达式
因此，位置表象中动量算符的表达式是
可以将动量空间的态矢量展开成
可以看到，从位置表象变换到动量表象的信息在波函数
这个微分方程的解是
因此，对于任意态在动量空间或位置空间的波函数之间可以相互转化
动力学
播报编辑
薛定谔方程
在量子力学的基本假设中，提到了微观系统状态
其中哈密顿量算符是
其中
时间演化算符
当势能不依赖时间时，可以通过分离变量法在位置表象中求解薛定谔方程(18)
于是，可以将(19)写成
等号左边只是
求解(22)得到
可以将波函数写成
态矢量是
(23)是确定时间的薛定谔方程，被称为定态薛定谔方程。
谐振子
谐振子保罗·狄拉克用算符的方法讨论了谐振子问题。一维谐振子的哈密顿量是
其中
它们分别称为产生算符和湮灭算符。根据位置和动量算符的对易关系，可以得到
定义粒子数算符
这是个厄米算符，设它的本征态是
根据上述关系，注意到
即
同理, 对于产生算符, 也有关系
态
这要求
角动量理论
播报编辑
在量子力学中，角动量可以分为轨道角动量
其中
轨道角动量和自旋角动量都满足这个关系。可以看到，
其中
根据对易关系(37)容易证明
即阶梯算符可以让
轨道角动量
在量子力学中，将角动量定义为转动的生成元更加普适。轨道角动量算符仍然可以定义为
氢原子轨道
考虑一个受到球对称势的无自旋粒子，定态薛定谔方程在球坐标中是可以分离变量的，哈密顿量在位置表象下的波函数可以写成
其中
其中
正交关系
球谐函数的具体表达式可以通过查表得到。
自旋角动量
在量子力学中，粒子有一种內禀性质——自旋。自旋常常被描述成粒子绕着一个自转轴旋转，实际上这是不对的。自旋是粒子的固有属性，与空间中的运动无关，自旋也没有经典物理的对应。
自旋可以是整数或半整数。比如电子的自旋是
应用泡利引入的二分量旋量形式，可以很方便地处理自旋
分别对应
其中
泡利矩阵有对易关系
其中
在二分量形式中，转动矩阵可以表示成
其中
主要学派
播报编辑
哥本哈根学派
长期以来，由玻尔领衔的哥本哈根学派被中国学界视为20世纪第一物理学派。但根据厚宇德的研究，这些现有证据都缺乏史料支撑。 [7]费恩曼质疑过玻尔的贡献，也有其他物理学家认为玻尔在建立量子力学方面的作用被高估了。本质上说，哥本哈根学派是一个哲学学派。 [7]
哥廷根物理学派
应用学科
播报编辑
在许多现代技术装备中，量子物理学的效应起了重要的作用。从激光、电子显微镜、原子钟到核磁共振的医学图像显示装置，都关键地依靠了量子力学的原理和效应。对半导体的研究导致了二极管和三极管的发明，最后为现代的电子工业铺平了道路。在核武器的发明过程中，量子力学的概念也起了一个关键的作用。
在上述这些发明创造中，量子力学的概念和数学描述，往往很少直接起了一个作用，而是固体物理学、化学、材料科学或者核物理学的概念和规则，起了主要作用，在所有这些学科中，量子力学均是其基础，这些学科的基本理论，全部是建立在量子力学之上的。以下仅能列举出一些最显著的量子力学的应用，而且，这些列出的例子，肯定也非常不完全。
原子物理学
原子物理和化学
任何物质的化学特性，均是由其原子和分子的电子结构所决定的。通过解析包括了所有相关的原子核和电子的多粒子薛定谔方程，可以计算出该原子或分子的电子结构。在实践中，人们认识到，要计算这样的方程实在太复杂，而且在许多情况下，只要使用简化的模型和规则，就足以确定物质的化学特性了。在建立这样的简化的模型中，量子力学起了一个非常重要的作用。
一个在化学中非常常用的模型是原子轨道。在这个模型中，分子的电子的多粒子状态，通过将每个原子的电子单粒子状态加到一起形成。这个模型包含着许多不同的近似（比如忽略电子之间的排斥力、电子运动与原子核运动脱离等等），它可以近似地、准确地描写原子的能级。除比较简单的计算过程外，这个模型还可以直觉地给出电子排布以及轨道的图像描述。
通过将数个原子轨道加在一起，可以将这个模型扩展为分子轨道。由于分子一般不是球对称的，因此这个计算要比原子轨道要复杂得多。理论化学中的分支，量子化学和计算机化学，专门使用近似的薛定谔方程，来计算复杂的分子的结构及其化学特性的学科。
原子核物理学
原子核物理学是研究原子核性质的物理学分支。它主要有三大领域：研究各类次原子粒子与它们之间的关系、分类与分析原子核的结构、带动相应的核子技术进展。
固体物理学
以上这些例子，可以使人想象到固体物理学的多样性。事实上，凝聚态物理学是物理学中最大的分支，而所有凝聚态物理学中的现象，从微观角度上，都只有通过量子力学，才能正确地被解释。使用经典物理，顶多只能从表面上和现象上，提出一部分的解释。
以下列出了一些量子效应特别强的现象：
晶格现象 | 声子、热传导 |
静电现象 | 压电效应 |
电导 | 绝缘体、导体 |
磁性 | 铁磁性 |
低温态 | 玻色-爱因斯坦凝聚 |
低维效应 | 量子线、量子点 |
量子信息学
研究的焦点在于一个可靠的、处理量子状态的方法。由于量子状态可以叠加的特性。理论上，量子计算机可以高度平行运算。它可以应用在密码学中。理论上，量子密码术可以产生理论上绝对安全的密码。另一个当前的研究项目，是将量子状态利用量子纠缠态传送到远处的量子隐形传送。
量子力学解释
播报编辑
量子力学问题
按动力学意义上说，量子力学的运动方程是，当体系的某一时刻的状态被知道时，可以根据运动方程预言它的未来和过去任意时刻的状态。
量子力学的预言和经典物理学运动方程（质点运动方程和波动方程）的预言在性质上是不同的。在经典物理学理论中，对一个体系的测量不会改变它的状态，它只有一种变化，并按运动方程演进。因此，运动方程对决定体系状态的力学量可以作出确定的预言。
量子力学可以算作是被验证的最严密的物理理论之一了。至今为止，所有的实验数据均无法推翻量子力学。大多数物理学家认为，它“几乎”在所有情况下，正确地描写能量和物质的物理性质。虽然如此，量子力学中，依然存在着概念上的弱点和缺陷，除上述的万有引力的量子理论的缺乏外，至今为止对量子力学的解释存在着争议。
解释
假如，量子力学的数学模型，它的适用范围内的完整的物理现象的描写的话，可以发现测量过程中，每次测量结果的概率性的意义，与经典统计理论中的概率，意义不同。即使完全相同的系统的测量值，也会是随机的。这与经典的统计力学中的概率结果不一样。在经典的统计力学中，测量结果的不同，它是由于实验者无法完全复制一个系统，而不是因为测量仪器无法精确地进行测量。在量子力学的标准解释中，测量的随机性是基本性的，它是由量子力学的理论基础获得的。由于量子力学尽管无法预言单一实验的结果，依然是一个完整的自然的描写，使得人们不得不得出以下结论：世界上不存在通过单一测量可以获得的客观的系统特性。一个量子力学状态的客观特性，只有在描写其整组实验所体现出的统计分布中，才能获得。爱因斯坦（“量子力学不完整”，“上帝不掷骰子”）与尼尔斯·玻尔是最早对这个问题进行争论的。玻尔维护不确定原理和互补原理。在多年的、激烈的讨论中，爱因斯坦不得不接受不确定原理，而玻尔则削弱了他的互补原理，这最后导致了今天的哥本哈根诠释。
今天，大多数物理学家，接受了量子力学描述所有一个系统可知的特性，以及测量过程无法改善，不是因为技术问题所导致的见解。这个解释的一个结果是，测量过程扰动薛定谔方程，使得系统塌缩到它的本征态。除哥本哈根诠释外，还有人提出过一些其它解释方式。包括：
1.戴维·玻姆提出了一个不局部的，带有隐变量的理论（隐变量理论）。在这个解释中，波函数被理解为粒子的一个引波。从结果上，这个理论预言的实验结果，与非相对论哥本哈根诠释的预言完全一样，因此，使用实验手段无法鉴别这两个解释。虽然，这个理论的预言是决定性的，但是，由于不确定原理无法推测出隐变量的精确状态。其结果是与哥本哈根诠释一样，使用这来解释实验的结果，也是一个概率性的结果。至今为止，还不能确定这个解释，是否能够扩展到相对论量子力学上去。路易斯·德布罗意和其他人也提出过类似的隐藏系数解释。
2.休·艾弗雷特三世提出的多世界诠释认为，所有量子理论所做出的可能性的预言，全部同时实现，这些现实成为互相之间一般无关的平行宇宙。在这个诠释中，总的波函数不塌缩，它的发展是决定性的。但是由于我们作为观察者，无法同时在所有的平行宇宙中存在，因此，我们只观察到在我们的宇宙中的测量值，而在其它宇宙中的平行，我们则观察到他们的宇宙中的测量值。这个诠释不需要对测量的特殊的对待。薛定谔方程在这个理论中所描写的也是所有平行宇宙的总和。
3.微观作用原理认为 [5]（详见《量子笔迹》），微观粒子之间存在微观作用力（微观作用力既可以演化到宏观力学也可以演化到微观力学），微观作用是量子力学背后更深层次的理论，微观粒子之所以表现出波动性是对微观作用力的间接客观反映，在微观作用原理之下量子力学面临的难题和困惑得到理解和解释。
4.另一个解释方向是将经典逻辑改成一个量子逻辑来排除解释的困难。
以下列举了对量子力学的解释，最重要的实验和思想实验：
3.薛定谔的猫
