量子傅立葉變換

量子 傅 裏 葉 變 換 ( Quantum Fourier Transform，QFT) 首次被 Shor 應用在大數質因子分解算法中，由於採用量子傅里葉變換後，算法的運行速度加快很多，因此，針對量子計算機，在以後的量子算法中，量子傅里葉變換作為最為關鍵的一個子程序被廣泛應用。針對量子傅里葉變換的研究逐漸增多，HALLGREN等人採用改進的量子傅里葉變換對任意區間的週期函數進行應用，NAM Y S等人利用帶狀量子傅里葉變換對 Shor 算法定義了新的標定規則，取得了很好的搜索效果。南京航空航天大學的週日貴等採用量子傅里葉變換作為模式特徵提取算法，並證明和驗證了該算法的可行性和有效性 ^[1]  。

量子傅里葉變換能夠在多種物理體系中得以實現, 包括核磁共振體系, 量子QED, 光量子 , 離子阱等體系. 同時量子傅里葉變換還能應用於量子通訊中, 用於實現多方之間的量子密鑰分發.

量子傅里葉變換的數學表述如下, 給定任意正整數, 總有

， 其中

, 任意量子態

的量子離散傅里葉變換為：

通常情況下, 一個

量子比特的量子傅里葉變換操作可以分解為一系列的單量子比特邏輯門和雙量子比特邏輯門的組合, 這種分解使得實現

比特的QFT的複雜性與

成正比. 隨着量子位的增加, 量子傅里葉變換的實驗時間必然顯著增長, 進而導致量子計算任務的實驗時間變長, 不利於其向高位擴展.

以線性耦合網絡(Ising coupling)為例, 假設體系包含

個自旋為1/2的量子比特, 相鄰的兩個自旋之間存在大小相等的標量耦合, 即

=

= ··· =

,

=

, 其餘的耦合為0. 從理論上展示了量子位數不同時, 利用優化方法和傳統方法實現QFT所對應的脈衝實驗時間, 得出的結論是隨着量子位數的增加, 優化方法能夠極大地縮短脈衝時間. 這裏我們主要討論3量子位的QFT 的優化控制, 不同量子位的優化控制QFT的脈衝時間對照表可知, 線性耦合的三量子比特優化控制QFT邏輯門需要的最短時間為2.05/J, 而用標準的邏輯門分解的方法則需要的時間為8.13/J. 很明顯, 優化控制使得QFT的時間縮短了大約4 倍. 對於耦合常數為J = 88 Hz的三個自旋(I1 , I2 , I3 ), 我們利用OC-SIMPSON 軟件編寫了數值計算的優化控制程序, 通過條件對程序的參數進行調節, 得到了保真度為99.9% 的實現QFT的脈衝序列, 脈衝的幅度和相位隨時間的變化如圖1所示, 其中(a)為脈衝的幅度, (b)為脈衝的相位, 上下兩行分別對應的是 1H,15N的幅度和相位, 整個脈衝的時間為23.3 ms. 為了驗證得到的優化脈衝的有效性, 我們在核磁共振上實驗實現了該脈衝 ^[2]  .