量子信息論

本書主要討論量子信息論中基礎理論的精確數學表示和證明，可幫助讀者全面理解這一領域的關鍵結論、證明技術和方法論，進而將其應用到不同的研究方向。書中首先給出線性代數、數學分析和概率論等必要的數學預備知識，在此基礎上，對所有結論均給出了清晰和完整的證明。此外，書中還配備了一些有挑戰性的練習，目的是幫助讀者提升技能，逐步加深對量子信息論的理解。本書主要面向數學、計算機科學和理論物理方向的研究人員和高校研究生。

出版者的話

譯者序

前言

符號説明

第 1 章 數學基礎 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1 線性代數. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

1.1.1 復歐幾里得空間 . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.2 線性算子 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.1.3 算子的分解與範數. . . . . . . . . . .20

1.2 分析、凸性和概率論 . . . . . . . . . . . . 28

1.2.1 分析和凸性 . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

1.2.2 概率論 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.2.3 半定規劃 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

1.3 推薦參考資料. . . . . . . . . . . . . . . . . . .46

第 2 章 量子信息基本概念 . . . . . . . . . . . . . 47

2.1 寄存器與態 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2.1.1 寄存器與經典態的集合 . . . . . . 47

2.1.2 寄存器的量子態. . . . . . . . . . . . .49

2.1.3 量子態的約化與純化 . . . . . . . . 54

2.2 量子信道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

2.2.1 信道的定義與基本概念 . . . . . . 58

2.2.2 信道的表示與特徵. . . . . . . . . . .61

2.2.3 信道與其他映射的例子 . . . . . . 72

2.2.4 極點信道 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

2.3 測量 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

2.3.1 測量的兩種定義. . . . . . . . . . . . .80

2.3.2 測量的基本概念. . . . . . . . . . . . .83

2.3.3 極點測量與系綜. . . . . . . . . . . . .89

2.4 習題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95

2.5 參考書目註釋. . . . . . . . . . . . . . . . . . .96

第 3 章 態與信道間的相似性及距離 . . . . 98

3.1 量子態區分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

3.1.1 區分一對量子態. . . . . . . . . . . . .98

3.1.2 區分系綜的量子態 . . . . . . . . . 104

3.2 保真度函數 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

3.2.1 保真度函數的基本性質 . . . . . 110

3.2.2 保真度函數的特徵 . . . . . . . . . 113

3.2.3 保真度函數的其他性質 . . . . . 122

3.3 信道距離與區分 . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.3.1 信道區分 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

3.3.2 完全有界跡範數 . . . . . . . . . . . 132

3.3.3 信道間的距離. . . . . . . . . . . . . .139

3.3.4 完全有界跡範數的特徵 . . . . . 147

3.4 習題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3.5 參考書目註釋. . . . . . . . . . . . . . . . . .158

第 4 章 保幺信道與優超. . . . . . . . . . . . . . .161

4.1 保幺信道的分類 . . . . . . . . . . . . . . . 161

4.1.1 混合酉信道. . . . . . . . . . . . . . . .161

4.1.2 Weyl 協變信道 . . . . . . . . . . . . 170

4.1.3 Schur 信道 . . . . . . . . . . . . . . . . 176

4.2 保幺信道的普遍性質 . . . . . . . . . . 179

4.2.1 保幺信道集合的極點 . . . . . . . 179

4.2.2 保幺信道的不動點、譜和模 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .184

4.3 優超 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187

4.3.1 實向量的優超. . . . . . . . . . . . . .188

4.3.2 Hermite 算子的優超. . . . . . . .194

4.4 習題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199

4.5 參考書目註釋. . . . . . . . . . . . . . . . . .200

第 5 章 量子熵與信源編碼 . . . . . . . . . . . . 202

5.1 經典熵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

5.1.1 經典熵函數的定義 . . . . . . . . . 202

5.1.2 經典熵函數的性質 . . . . . . . . . 204

5.2 量子熵 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214

5.2.1 量子熵函數的定義 . . . . . . . . . 214

5.2.2 量子熵函數的基本性質 . . . . . 215

5.2.3 量子相對熵的聯合凸性 . . . . . 222

5.3 信源編碼 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

5.3.1 經典信源編碼. . . . . . . . . . . . . .229

5.3.2 量子信源編碼. . . . . . . . . . . . . .232

5.3.3 在量子態上編碼經典信息 . . . 236

5.4 習題 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

5.5 參考書目註釋. . . . . . . . . . . . . . . . . .247

第 6 章 二分糾纏 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.1 可分性 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249

6.1.1 可分算子與可分態 . . . . . . . . . 249

6.1.2 可分映射與 LOCC 範式 . . . . 261

6.1.3 可分測量與 LOCC 測量 . . . . 268

6.2 關於糾纏的操作 . . . . . . . . . . . . . . . 273

6.2.1 糾纏變換 . . . . . . . . .

約翰·沃特羅斯（John Watrous） 滑鐵盧大學計算機科學學院教授，量子計算研究所成員。他是加拿大高等研究院（CIFAR）研究員，以及圓周理論物理研究所成員。他的主要研究方向是量子信息與計算，目前的研究重點是量子信息理論及其在算法、複雜性理論和密碼學中的應用。 ^[1]