重要抽樣法

考慮如下積分的蒙特卡羅計算問題

其中

為隨機變量

的分佈密度，

的二階矩存在。引入新的分佈密度

，當

時，

，則上述積分也可以表示成另一種形式

其中

，計算積分(1)的重要抽樣方法是，確定合適的

，用下式作為其近似估計

其中

是母體分佈為

的簡單子樣。無偏統計量

的方差由下式給出

則使此方差達到最小的

為

因此，對

的最合適的選擇是使其與

成正比。重要抽樣法有時也稱偏倚抽樣法，它的一般原理是：選擇偏倚分佈密度，使得所確定的無偏統計量儘量與其中的隨機變量的取值關係不大。只要抽樣分佈與無偏統計量的變化引起的計算量改變不大，便可用此偏倚分佈與相應的無偏統計量代替原分佈與相應的無偏統計量 ^[2]  。

重要抽樣法對應於數學上的變量代換方法。即

此時隨機點的選擇不再是均勻的，而是以分佈函數

分佈的。被積函數

也乘以權重

，其中

。這時公式(6)右邊積分中被積函數的方差為

。

如果

選擇恰當，以使它在積分域內的函數形狀與

接近，則該方差可以變得很小。因

而函數

的選擇十分關鍵，它應滿足如下條件：

(1)

應當是個分佈密度函數。

(2)

不應起伏太大，使之儘量在積分域內近似等於常數，以保證方差

比

小。

(3)密度函數

對應的分佈函數

，能較方便地解析求出。

(4)能方便地產生在積分域內，滿足分佈函數

分佈的隨機點。

如能按上述條件找到函數

，就可以依下列步驟求積分：

(1)根據密度函數

產生隨機點

，例如採用反函數法。

(2)求出各抽樣點

的函數值

，並將所有點的該函數值疊加起來除以抽樣點數

就得到積分結果。

也可採用

作為分佈密度函數，利用舍選法以捨去或接受各隨機點

的值。用此方法時，應當至少可以事先以經驗判斷出

的最大值。當然最好能從

中，推導出

，但在很多時候這是比較困難的。

以上的討論可很容易地推廣到更高維的積分計算中，但要注意如下兩方面的問題：第一，在產生隨機向量的某個分量

時，沒有必要用舍選法，在產生了隨機向量

的所有分量後，再用舍選法往往更快，效率更高。第二，在計算

值之前，作隨機變量

到

的變換有時是很有用的，這時需將雅可比行列

包括在權重因子內。

重要抽樣法無疑是蒙特卡羅計算中最基本和常用的技巧之一，它無論在提高計算速度和增加數值結果的穩定性方面都有很大的潛力，但是它仍有一些侷限性，譬如：

(1) 尋找分佈函數

，並能解析求出其對應的分佈函數

的情況並不多。當然也可用數值計算方法求出

，但通常這樣處理不靈活速度也慢，並且也不精確。

(2) 當選擇

在某點為零或很快趨於零時(如高斯分佈)，這時是很危險的，其方差

可能趨於無窮大。即使是在某點

不為零，但卻很小時，方差

也可能很大，但是通常採用的從樣本點估計方差的方法卻可能不能檢查出來，這會使得結果不穩定 ^[3]  。