重整化羣

重整化羣是一個在不同長度標度下考察物理系統變化的數學工具。標度上的變化稱為“標度變換”。重整化羣與“標度不變性”和“共形不變性”的關係較為緊密。共形不變性包含了標度變換，它們都與自相似有關。在重整化理論中，系統在某一個標度上自相似於一個更小的標度，但描述它們組成的參量值不相同。系統的組成可以是原子，基本粒子，自旋等。系統的變量是以系統組成之間的相互作用來描述。

以量子電動力學為例。利用Feynman展開的微擾論方法，我們計算一個物理量，比如電子之間的散射率，會得到一個按照耦合常數

展開的級數，每一項的係數是粒子動量

的積分式。這樣的積分式會出現紫外發散，即

允許的取值可以到無窮大時，係數趨向於正或負無窮，這使得整個理論失去意義。

為了克服這一困難，人們引入了重整化方法。用這個方法，我們首先對所有的積分作紫外截斷

，從而得到有限結果。顯然，這樣得到的展開係數將與截斷

有關。但是，在連續場論中這個截斷是人為引入的，物理上並不存在。為了解決這個問題，對於任意

，我們要求可以重新定義一個相應的耦合常數

，使得計算最後給出的物理量與

無關。在量子電動力學和其他可重整的理論中，這是可以做到的。換句話説，對於微擾展開的任意級次，可以定義該系統的一系列和截斷

相關的參數，使得系統在動量遠小於

時的物理性質和

無關。由於實際的

最後要取為無窮大，也就是説，系統在任意有限動量上的物理性質和

無關，於是，我們要求理論具有這樣的不變性：當

改變一個比例

時，耦合常數將作相應的變化，而最後給出的結果將是與

無關的。這也就導致了重整化羣的想法。也就是説，對於

改變一個比例

這種變換的全體有一個類似羣的結構，即滿足組合律；先改變

比例為

，再接着改變

比例為

得到的耦合常數等於作一次改變

比例為

得到的耦合常數。但嚴格説起來，這並不是一個羣，而是一個所謂的半羣。原因是在上述定義下，我們無法定義逆變換。

我們把

寫成

並令

其中

是一個固定的數。如上所述，為使得最後結果有物理意義，我們要讓耦合常數

也作相應的改變，即

也隨參量

改變。並令

由此，我們可以定義所謂

函數。它是重整化羣理論中最重要的一個物理量，決定了相應的相互作用在整個理論框架下所起的作用。 ^[1]