重序列

設已給定一個集E，我們把從自然整數集N到E內的一個映射叫做E上的序列。從積N×N到E裏的一個映射叫做重序列。一個這樣的序列用兩個序標來表示；

是E的對應於N×N的有序對(p，q)的元素。重序列的不同元素的個數是有限的或可數的。兩個重序列的相等是其各元素恆等的意思 ^[2]  。

我們用字母n,p,q,...表示N的元素。

一個序列x是一個從N到E內的映射， 從而n∈N在E內的像應該用x(n)來表示，然而，在序列的情況下，x(n)這種記法是不常採用的；一般地，我們用符號

來表示n的像，並把n叫做序標，此外，如y是重序列，我們就用符號

來表示(p,q)∈N×N在E中的像，這裏p和q也叫做序標。這種表示法叫做注敍法。

為了強調和明確，也用諸如下列記號表示序列:

其目的是要表明:變量是N的元素或N×N的元素。

二重序列是定義在N×N上的函數，常以

或簡單地以{a_mn}表示.隨着函數在數集、函數集或點集中取值的不同，可以有二重數列、二重函數列或二重點列等概念.下面考慮二重數列{a_mn}.若對任意ε>0，存在正整數N，使當m，n>N時，|a_mn-a|<ε，其中a是常數，則稱a是{a_mn}的二重極限，{a_mn}收斂，記為 ^[1]  ：

a=

a_mn.

類似地，可以得到

a_mn=±∞(∞)

的定義，通常的數列的一些性質可以對二重數列建立.。二重數列有兩個二次極限

(

a_mn)與

(

a_mn).

作為函數的二重極限與二次極限的特例，二重序列的這兩個二次極限與二重極限

a_mn

之間有如下關係：若

a_mn=a(可以是±∞)，

又對固定的m，

a_mn

存在(有限)，則

(

a_mn)=a.

反之，若

a_mn=b_m

關於m一致成立(即對任意ε>0，存在正整數N，當n>N時，對所有正整數m，有|a_mn-b_m|<ε)，且

(

a_mn)即

b_m

存在(有限)，則二重極限

a_mn

也存在且等於

(

a_mn)

當對固定的m，a_mn對於n遞增，且對固定的n，a_mn對於m遞增時，二重極限與兩個二次極限中若有一個存在，則另兩個也存在，並且彼此相等 ^[1]  。