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配方法
鎖定
配方法基本信息
在基本代數中,配方法是一種用來把二次多項式化為一個一次多項式的平方與一個常數的和的方法。這種方法是把以下形式的多項式化為以上表達式中的係數a、b、c、d和e,它們本身也可以是表達式,可以含有除x以外的變量。配方法通常用來推導出二次方程的求根公式:我們的目的是要把方程的左邊化為完全平方。由於問題中的完全平方具有(x + y)2 = x2 + 2xy + y2的形式,可推出2xy = (b/a)x,因此y = b/2a。等式兩邊加上y2 = (b/2a)2,可得:
這個表達式稱為二次方程的求根公式。
配方法應用
考慮把方程ax²+bx=c配方:
如果嘗試把矩形
和兩個
合併成一個更大的正方形,這個正方形還會缺一個角。把以上方程的兩端加上
,正好是欠缺的角的面積,這就是“配方法”的名稱的由來。
對於任意的a、b(這裏的a、b可以代指任意一個式子,即包括超越式和代數式),都有
對於任意的a、b、c,都有
配方時,只需要明確要進行配方兩項或三項,再套用上述公式即可。
【例】解方程:2x²+6x+6=4
分析:原方程可整理為:x²+3x+3=2,通過配方可得(x+1.5)²=1.25通過開方即可求解。
解:2x²+6x+6=4
<=>(x+1.5)²=1.25
x+1.5=√1.25
求最值
【例】已知實數x,y滿足x²+3x+y-3=0,則x+y的最大值為____。
分析:將y用含x的式子來表示,再代入(x+y)求值。
解:x²+3x+y-3=0<=>y=3-3x-x²,
代入(x+y)得x+y=3-2x-x²=-(x²+2x-3)=-[(x+1)²-4]=4-(x+1)²。
由於(x+1)²≥0,故4-(x+1)²≤4.故推測(x+y)的最大值為4,此時x,y有解,故(x+y)的最大值為4.
證明非負性
【例】證明:a²+2b+b²-2c+c²-6a+11≥0
解:a²+2b+b²-2c+c²-6a+11=(a-3)²+(b+1)²+(c-1)²,結論顯然成立。
例分解因式:x²-4x-12
解:
x²-4x-12
=x²-4x+4-4-12
=(x-2)²-16
=(x-6)(x+2)
解:y=3(x²+2x-1)=3(x²+2x+1-1-1)=3(x+1)²-6
所以這條拋物線的頂點座標為(-1,-6).