盈數

最小的一些過剩數是：12,18,20,24,30,36,40,42,48,54,56,60,66,70,72,78,80,84,88,90,96,100,102, 104，108，112，114，120，126，132，138，140，144，150，156，160，162，168，174，176，180，186，192，196，198，200，204，208，210，216，220，222，224，228，234，240，246，252，258，260，264，270，276，280，282，288，294，300，304，306，308，312，318，320，324，330，336，340，342，348，350，352，354，360，364，366，368，372，378，380，384，390，392，396，400，402，408，414，416，420，426，432，438，440，444，448，450，456，460，462，464，468，474，476，480，486，490，492，498，500，504，510，516，520，522，528，532，534，540，544，546，550，552，558，560，564，570，572，576，580，582，588，594，600，606，608，612，618，620，624，630...

以上列出的盈數都是偶數。最小的盈奇數是945。

與盈數數相關的概念是完全數（σ(n) = 2n）和虧數（σ(n) < 2n），其中σ(n)為因數和函數，即n的所有正因數（包括n）之和。最早將自然數分為盈數、完美數和虧數的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica (公元前100年)。

1998年Marc Deléglise 證明了盈數在自然數中的自然密度介於0.2474 與0.2480之間。

奇盈數和偶盈數都有無窮多個，因為每個完全數和盈數的倍數（不包括它們自身）都是盈數。甚至，每個大於20161的數都可以寫成兩個盈數之和。許多盈數一部分真約數的和等於盈數自身，這樣的盈數也是半完全數，一個不是半完美數的盈數叫做奇異數；盈度為1的盈數叫做準完全數。 ^[1] 

假定有一正整數n，其除n自身以外的所有正整數因子的和為m（例如，若n為12，則其和為1+2+3+4+6=16），則正整數n必有以下三種情形：

m< n虧數(deficient number) 1,2,3,4,5,7,8,9,10...

m =n 完美數(完全數，perfect number) 6,28,496 ...

m >n 盈數(abundant number) 12,18,20,24,30 ...

最早這麼命名虧數和盈數的是Nicomachus所著的Introductio Arithmetica (公元前100年)。

最小的一些過剩數是： 12, 18, 20, 24, 30, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 66, 70, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 102, …（OEIS中的數列A005101）

以上列出的過剩數都是偶數。最小的奇過剩數是945。

奇過剩數和偶過剩數都有無窮多個，因為每個完美數和過剩數的倍數（不包括它們自身）都是過剩數。甚至，每個大於20161的數都可以寫成兩個過剩數之和。許多過剩數一部分真因子的和等於過剩數自身，這樣的過剩數也是半完美數，一個不是半完美數的過剩數叫做奇異數；盈度為1的過剩數叫做準完美數。每一完美數的完全倍數以及每一盈數的倍數都是盈數(因為，當n>1時，σ(n)/n >1+1/n；且σ(n) 為積性函數multiplicative function，即n的所有正因子之和)。

每一大於20161的整數可寫成兩個過剩數之和。

半完全數全部都是過剩數（盈數）。