-
連通分支
鎖定
- 中文名
- 連通分支
- 外文名
- connectedcomponent
- 所屬學科
- 拓撲學
- 相關概念
- 連通性、拓撲空間、連通子集等
連通分支定義
①設X為拓撲空間,
,若C滿足
(1)C是拓撲空間X的連通子集;
(2)C不是拓撲空間X的任一個連通子集的真子集。則稱C為拓撲空間X的一個連通分支(或極大連通子集)。
連通分支定理
連通分支定理1
設X為拓撲空間,則
(1)若A是拓撲空間X的連通子集,則存在X的連通分支C,使得
;
(2)拓撲空間X的任意兩個不同的連通分支不相交;
(3)拓撲空間X是若干個連通分支的並。
證明 (1)對於拓撲空間X的連通子集A,記
顯然,
,從而根據定理可知
是X的連通子集,並且
.若有X的連通子集M使得
,則
,於是
,因此
,所以C是X的極大連通子集,即它是X的連通分支。
(2)設
,
是X的兩個不同的連通分支,若
,則
是X的連通子集,從而
,所以根據連通分支
,
的極大性可知
=
。
(3)因為對於任意
,
是X的連通子集,從而存在連通分支
使得
。所以
.
連通分支定理2
拓撲空間的每個連通分支都是閉集。
證明 設C是拓撲空間X的任意連通分支,因為C是X的連通子集,從而
也是X的連通子集,所以由連通分支的極大性可知
,即C是閉集。
連通分支定理3
連通分支推論
空間X的每個連通分支C都是X的極大連通子集,換言之,C是一個連通集,且不是其它連通集的真子集。
連通分支定理4
連通分支示例
例1 多於一點的離散空間是完全不連通空間。
例3 空間X連通
X是它自己唯一的連通分支.
例4 離散空間X的連通分支恰是它的所有單點集
,