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連續方程

鎖定
質量守恆定律是應用於研究大氣運動的基本物理定律,其數學表達式成為連續方程(continuity equation)。它表明,速度場與密度場是相互制約的,故連續方程也是描寫大氣運動的基本方程之一。
中文名
連續方程
外文名
continuity equation
學    科
動力氣象學
實    質
質量守恆原理的流體力學表達式
含    義
速度場與密度場是相互制約的
地    位
描寫大氣運動的基本方程之一

連續方程定義

質量守恆定律是應用於研究大氣運動的基本物理定律,其數學表達式成為連續方程(continuity equation)。
它表明,速度場與密度場是相互制約的,故連續方程也是描寫大氣運動的基本方程之一。 [1] 

連續方程方程推導過程

圖1 物質體積元的體積在運動中的變化 圖1 物質體積元的體積在運動中的變化
考慮一個具有固定質量
的物質體積元,其體積為
(取笛卡爾座標系,見圖 1),則有:
由於物質體積元在運動中質量守恆,因此有(1)式 [1] 
由圖2.7所示,我們發現物質體積元的 y - z面(分別用A,B表示)隨氣流在 x 方向移動着,A面的速度為
,B面的速度為
,A 面和B 面的速度差
即有
,類似地有
所以
代入(1)式,得到
或寫成(2)式
這就是連續方程 [1] 

連續方程速度散度

根據連續方程,有
表示速度散度 [1] 
速度散度代表物質體積元的體積在運動中的相對膨脹率。因此連續方程的物理意義極為清楚,它表明,當物質體積元在運動中體積增大時(
),因質量守恆其密度要減小;運動中體積減小時(
),其密度要增大。 [1] 

連續方程質量淨流出率

圖2 沿x方向流入固體體積元中的大氣質量 圖2 沿x方向流入固體體積元中的大氣質量
(2)式還可改寫為(3)式 [1] 
對於流體中一固定空間體積元而言,
代表每單位空間體積中流體質量的淨流比率,這不難加以説明。事實上通過固定空間體積元 A 面(見圖 2 )的質量流入率為
通過B面上質量的流出率為
故 x 方向上運動引起的質量淨流出率為
y 和 z 方向上的運動引起的質量淨流出率的表達式是類似的。所以從固定體積元中質量的淨流出率為
單位體積中的質量淨流出率為
因此,(3)式的物理意義也是清楚的,它表明,對於固定空間體積元而言,當有質量流入時(
),固定體積元的密度要增大;當有質量流出時(
),固定體積元的密度要減小。 [1] 
參考資料
  • 1.    呂美仲.動力氣象學:氣象出版社,2004