逐次超鬆弛法

鬆弛法是逐步減少每個未知值偏差的一種方法。偏差是一個未知值與正確解的差。超鬆弛法是根據一種利用兩個相繼代換步驟的線性外插法。在這個意義上，逐次超鬆弛法可以看作是高斯-賽德爾法的擴充。

設方程組為

逐次超鬆弛迭代法的迭代公式為

其中ω為一參數，稱為鬆弛因子。為使迭代法收斂，理論分析表明，ω必需屬於

，ω選取得好，可以大大加速迭代的收斂性。當係數矩陣

對角佔優或對稱正定時，可保證SOR迭代法收斂 ^[2]  。

逐次超鬆弛法(SOR 方法，Sucessive Over Relaxation Method)可看成是Causs-Seidel方法的加速，Seidel迭代法是SOR方法的特例。

將Seidel 方法的迭代公式

改寫為

記

則

為加快收斂速度，在增量

前加一個因子

，得

稱之為SOR 法，

稱為鬆弛因子(relaxation factor)，當

時，稱為低鬆弛法(under-relaxation method)；選擇適當的鬆弛因子能使不收斂的Gauss-Seidel迭代法變成為收斂的迭代方法，當

時，就是Gauss-Seidel迭代法；當

時，稱為超鬆弛法(over-relaxation method)，選擇適當的鬆弛因子能使收斂的Gauss-Seidel迭代法獲得加速收斂的效果 ^[3]  。

將(1)改寫成向量形式為

由此得SOR方法的矩陣形式迭代公式為

，其中