辛普森積分法

設要求定積分

。

將閉區間等分成

個小區間

。在每個小區間上，用拋物線近似函數

的曲線。

設

。

可得到近似值

。 ^[1] 

最大誤差為

，其中

是

在

上的最大值。 ^[1] 

辛普森積分法可以看作梯形法則做 Richardson 外推加速的結果。

對於積分

，如果僅用偶數號的數據點做梯形法積分，得到結果

而如果用全部的數據點做梯形法積分，則得到

由於梯形法積分的誤差是 O(1/n²)，而 I₂ 的數據點比 I₁ 多一倍，故其領頭階誤差為後者的 1/4。於是列出外推方程 I – I₁ ≈ 4(I – I₂)，解得 I ≈ (4I₂ – I₁) / 3。經計算

可見梯形法外推的結果恰好為辛普森公式。用 Richardson 外推加速可以提高積分公式的代數精度。梯形法的代數精度為 1，而辛普森法為 3，即當 f(x) = x^m 時，辛普森公式對 m = 0, 1, 2, 3 嚴格成立。這使得辛普森公式的誤差為 O(1/n⁴)，隨區間數目 2n 趨於零的速度更快。

辛普森積分法可以推廣到一種參數形式如下：

可以驗證，上式的代數精度為 3，即當 f(x) = x^m，g(x) = x^k，自然數 m 和 k 滿足 m + k ≤ 4 時，上式嚴格成立。上式還嚴格滿足分部積分法。當 g(x) = x 時，上式還原為普通的辛普森積分公式。