軌跡交點法

軌跡交點法(method of intersection point of locus)是解作圖題的一種重要方法，解作圖題常歸結到確定某一點的位置，如果這個點的位置是由兩個條件確定的，先放棄其中一個條件，那麼這個點的位置就不定而形成一個軌跡；若改換放棄另一個條件，這個點就在另一個軌跡上，故此點便是兩個軌跡的交點，這種利用軌跡的交點來解作圖題的方法稱為軌跡交點法，或稱為交軌法、軌跡交截法、軌跡法。用這種方法來作圖，稱為軌跡法作圖。

例如，設⊙O與⊙O′相離，半徑分別為R與R′，求作半徑為r的圓，使其與⊙O及⊙O′外切，該作圖題的思路要點是：設⊙M是合條件的圓，即其半徑為r並與⊙O及⊙O′外切(如圖一)，顯然，M點是由兩個軌跡確定的，即M點既在以O為圓心以R+r為半徑的圓上，又在以O′為圓心以R′+r為半徑的圓上，因而所求圓的圓心位置可確定，於是該作圖題可以求解。若⊙O與⊙O′相距為b，當2rb時，有兩解 ^[2]  。

軌跡交點法在作圖中應用廣泛，凡屬作圖，幾乎沒有不用到它的。這是因為我們所使用的工具——直尺和圓規的作圖在本質上就體現了求軌跡交點的作用。正因如此，軌跡交點法可説就是其他作圖方法的基礎。

有時欲確定的某一個點已明確指出系在某已知圖形上，那麼只要求出一個軌跡就可以了，這種情形叫做單軌法。如果並未指出在某已知圖形上，需要求出兩個軌跡才能確定所求點的位置，這種情形叫做雙軌法。

能確定某一個點的軌跡常常有若干個，為使作圖簡捷，我們應該注意選擇那些便於作出的軌跡 ^[2]  。

【例1】 已知一邊及這邊上的中線和高，作三角形。

已知：線段a、m、h，求作：△ABC，使BC=a，中線AD=m，高AE=h。

分析：假設△ABC已作出，其中BC=a，中線AD=m，高AE=h，BC=a，如果A點可定，這個作圖題就可解，A點適合兩個條件：1．和BC的中點的距離等於m；2．和BC的距離等於h。若利用第一個條件，先放棄第二個條件，可得以BC的中點為圓心，m為半徑的圓；再利用第二個條件而放棄第一個條件，得出僅適合於第二個條件的點的軌跡，是和BC平行且距離等於h的兩條直線。所求的A點就是這兩個軌跡的交點(圖二) ^[1]  。

作法：

1．作BC=a。

2．取BC的中點D，以D為圓心，m為半徑作圓。

3．作和BC平行並且距離等於h的直線交圓於A。

4．連結AB和AC。

△ABC就是所求作的三角形。

討論：

1.當h>m時，兩個軌跡沒有交點，這時無解。

2.當h=m時，兩個軌跡相切，有兩個切點，這時可以作出兩個三角形，但它們是全等的。

3.當h。