超越數

《超越數》系統地介紹了超越數理論，內容分四章：第一章介紹了超越數論的一些古典結果；第二章專門講述適合於齊次線性微分方程組的某些函數數值的代數無關性；第三章中證明了數ab的超越性，即著名的Hilbert第七問題；最後，第四章介紹了Schneider關於橢圓函數的算術性質方面的一些研究結果。《超越數》適合於大學、中學師生及數學愛好者。 ^[1] 

C·L·西格爾(Siegel，Carl Ludwig)1896年12月31日生於德國柏林；1981年4月4日卒於德國格丁根。

西格爾的父母來自萊因地區，他是獨生子，小時候對數學感興趣，在柏林接受正規的初等教育，然後上實科中學及高級實科中學。他對中學的數學課無興趣，只是為了彌補自己數學知識的不足。他到柏林市立圖書館借閲H·韋伯(Weber)的名著《代數學》(Algebra)，這可能是他接觸代數數論的開始。1915年中學畢業後，第一次世界大戰正激烈進行，他對戰爭很反感，於是便選擇了與人間世事最不相干的天文學作為自己的專業。1915年秋在柏林大學註冊。他後來研究了天文學中的三體問題，主要是有關三體問題的幾何圖形漸近地接近拉格朗日特解的圖形。而且碰撞方向是確定的。在一般情況下解析開拓是不可能的。1956年出版了《天體力學講義》(Yorlesungen Uber Himmels-Mechanik)。由於天文課程的延拓，他去聽G·弗羅貝尼烏斯(Frobenius)的數論課。這一偶然的情況最終把他引向數論的殿堂。他把弗羅貝尼烏斯作為他學習的模範。大學第三學期(1916—1917年)，他參加I·舒爾(Schur)的討論班。在這裏，他第一次接觸他主要的研究課題——丟番圖逼近，特別是挪威數學家A·圖埃(Thue)的不太為人所知的工作。西格爾後來講，舒爾最早認識到這個只有4頁的文章的意義，而這也成了他後來論文的出發點。他説，圖埃的符號把他搞糊塗了，不過他還是靠自己的力量改進了圖埃的結果，舒爾對此十分高興。不久他就被徵召入伍，到斯特拉斯堡服役，五週後退役。他先當家庭教師，一直到1919年夏季學期才繼續上學。這次他到格丁根大學師從E·朗道(Landau)學習，並在朗道的指導下於1920年6月取得博士學位，博士論文的題目為《代數數的逼近》(Approximation algebraiseher zahlen)。其後，他在1920—1921年冬季學期在漢堡大學任E·海克(Hecke)的助教，然後回格丁根大學任R·庫朗(Courant)的助教，1921年底取得講師資格，1922年秋被聘為法蘭克福大學正教授。在這兩年間，他一共發表14篇論文。這也許可以解釋他異乎尋常快的升遷。 ^[2] 

§1．e的無理性

§2．運算子f(D)

§3．用有理函數逼近ex

§4．對於有理數a≠0，數ea的無理性

§5．訂的無理性

§6．對於有理數a≠0，數tan口的無理性

§7．函數P1 eρ1x+…+Pmeρmx

§8．R(1)的估值 10

§9．Rk(1)及其分母的估值

§10．對於實代數數a≠0，數ea的超越性

§11．m個漸近式的行列式

§12．代數無關

§13．餘項R(x)的另一表達式

§14．插值公式

§15．結束語

§1．E型函數

§2．算術的引理

§3．漸近式

§4．正規系

§5．漸近式的係數矩陣

§6．Rk及Pkl的估值

§7．E1(α)，…，Em(α)的秩

§8．代數無關

§9．超幾何E-函數

§10．Bessel微分方程

§11．例外情況的確定

§12．含有不同的Bessel函數的代數關係式

§13．Bessel函數的正規性條件

§14．註記

§1．Schneider的證明

§2．гельфонд的證明

§3．註記

§1．Abel微分

§2．橢圓積分

§3．漸近式

§4．結論的證明

§5．另外的一些結果。 ^[1]