超彈性

超彈性 (hyperelastic) 是指材料存在一個彈性勢能函數，該函數是應變張量的標量函數，其對應變分量的導數是對應的應力分量，在卸載時應變可自動恢復的現象。應力和應變不再是線性對應的關係，而是以彈性能函數的形式一一對應。

超彈性是描述一種應力應變關係非線性的材料的一種模型，例如橡膠，泡沫等。只要滿足以上的定義的模型皆可稱之為超彈性材料模型。常見的超彈性模型有St Venant-Kirchhoff模型，Fung模型，Neo-Hookean模型，Mooney-Rivlin模型，Ogden模型等。

St Venant-Kirchhoff模型應力張量、應變張量和彈性能滿足以下關係：

其中 S為Second Piola-Kirchhoff應力張量，E為lagrangian Green應變張量，alfa和mu為拉梅常數。

彈性能W滿足以下關係式：

根據超彈性的定義可以驗證：

其它超彈性模型對應力張量、應變張量和彈性能的定義雖然各有不同，但是皆滿足類似的超彈性模型的關係式。 ^[1] 

關於超彈性物質方面的研究一直是當前固體力學和應用數學研究的重大前沿課題。近年來，無論是超彈性有限變形理論，還是材料和結構的失穩方面的研究，都取得了相當大的進展。早在1894年，Finger就完成了超彈性材料的有限變形理論，但是由於由有限彈性理論給出的方程十分複雜而難以求解，使得這方面的研究進展十分緩慢。隨着一計算機領域的發展，精密的數學分析工具的日趨成熟，以及張量分析的大量應用，特別是Rivlin等人找到了一系列簡單而重要的問題的精確解，使得關於有限變形問題的研究重新煥發青春。

非線性科學中關於分岔現象的研究可追溯到Poincare對天體的演化規律的研究在他的研究中預言了天體演化的全局變化和分岔，揭示了非線性問題解的非唯一性。在彈性力學中，Euler對直杆在軸力作用下的分岔現象也進行了仔細的研究。但是由於當時缺乏必要的數學工具，所以在較長的時間內分岔問題的研究進展緩慢.直到近代，由於非線性泛函分析和非線性常微分方程理論的日趨成熟，特別是變分方法、拓撲方法的應用和Liapunov穩定性理論的出現，使得分岔理淪以及動力系統的理論取得了長足的進步。在此基礎上出現了一大批利用這種近代分岔理論對各種非線性問題中出現的分岔、失穩現象的研究成果。

所謂的超彈性物質，又稱為Green彈性物質，是一種特殊的彈性物質，它的本構關係可以完全地由其應變能函數給出。正因如此，如何尋求一個合理的應變能函數來正確描述其本構關係便成為研究超彈性材料力學性態的關鍵。日前，關於應變能函數的構造己經取得了一定的進展一方面，Treloar、徐立、Chalton和Yang、 Boyce和Arruda等人從分子統計熱力學的網絡理論的方法得到了應變能函數的形式，這種方法的優點是和超彈性材料的高分子物理性能相結合，有助於理解高分子性能，可以提供材料參數的物理意義;另一方面，從連續介質力學的唯象理論的觀點出發，可以利用實驗的方法，通過簡單變形模式得到材料的應力應變關係曲線，然後利用各種擬合方法來確定相應的應變能函數形式。唯象理論最早是由Mooney在1940年給出的，他通過大量的實驗證實了某些類型橡皮的力學性能可用彈性勢函數來掐述，而且證實了橡皮幾乎是不可壓的，從而提出了不可壓Mooney應變能函數模型.後來Rivlin對此做了進一步的改進，並且得到的應變能函數的形式與實驗結果相吻合.在此基礎上，Valanis和Landel、Ogden等許多人在這方面做了大量的有意義的工作。用唯象理論得到的應變能函數的形式一般都可以用變形張量的主不變量或伸長張量的主值來表示，然後通過實驗來確定應變能函數中的材料常數。此外，Truesdell、NollColeman、Eringen以及Rivlin等理性力學家從“本構公理”的思想出發，經過嚴格的數學演繹，得到了簡單物質的質譜素，完善了本構關係的公理化體系.特別地，他們還給出了為保證超彈性材料的物理性能的理想化而必須滿足的一些本構不等式。

超彈性理論中的有限變形問題最終可以歸結為非線性微分方程的(初)邊值問題。由於控制方程非常複雜，要得到這樣問題的精確解是非常困難的，這方面最早的代表性工作參見Rivlin的工作，對於各向同性的不可壓超彈性材料，Rivlin、Green和Shield、Ericksen等人根據不可壓條件求得了一系列軸對稱和球對稱問題的普適解，如圓筒受內壓、圓柱體的扭轉、長方體的彎曲、氣球的膨脹等等。其中Ericksen指出了對於不可壓超彈性材料除均勻變形外，還有其他五種非均勻的普適變形。他們求得的普適解的最大特點是在忽略體積力時，彈性物質的普適變形可以通過表面拉伸載荷來控制，並且由於它們與材料的應變能函數無關，所以通過測定作用於物體邊界面上表面應力的響應，即可決定物質的特性，使得它們在實驗技術中具有重要的應用價值。對於可壓縮超彈性材料，1955年，Ericksen證明了一個重要的結論：對於各向同性的可壓縮彈性物質的普適變形只有均勻變形一種。此後，Carroll、W'illiarn、Hill、Murphy、Zidi等。許多人受到這個結論的啓發，進而求得了幾類特殊的可壓縮超彈性材料在軸對稱和球對稱變形假設下封閉形式的解析解.對於球對稱和軸對稱問題，控制方程是一個二階常微分方程，通常可以採用換元積分的方法對問題的控制微分方程進行求解，基本求解步驟是首先通過換元將二階微分方程降階，然後進行積分，最後利用邊界條件確定待定的積分常數，從而得到問題的解析解.但是對於一般形式的可壓縮超彈性有限變形問題而言，只能使用一些近似方法或數值方法，來尋求問題的近似解析解或數值解，如逐次逼近法，有限元法等等。 ^[2]