質點網格法

計算二維非定常可壓縮理想流動問題的歐拉－拉格朗日混合方法,簡稱PIC法，它特別適用於計算具有多種介質和大變形流動的問題。

在流體動力學中，通常可用歐拉和拉格朗日兩種不同座標系來求解流體動力學問題，即所謂歐拉法和拉格朗日法。歐拉法可用於求解流體大畸變問題，但精度不高，而且在各個區域進行物質輸運時會產生嚴重的物質擴散，使界面和自由面的位置不能精確確定。拉格朗日法正好相反，計算精度較高，能精確確定界面和自由面，但不能處理流體大畸變和在各種介質之間有剪切間斷的滑移現象。針對這種情況，美國F.H.哈洛等人於1955年成功地把歐拉法和拉格朗日法結合起來，提出了質點網格法。

PIC法的基本要點是,把含有多種介質的流動所通過的區域用歐拉法分成有限個網格，每個網格中的每種流體，用一組特定的離散化拉格朗日質點表示。圖中“×”表示一種流體質點,“·”表示另一種流體質點。只包含一種流體質點的格子稱為純單元，兩種流體質點同時存在的格子稱為混合單元，不存在任何流體質點的格子稱為空單元。每個質點具有一定的質量，每個網格單元內的質點數目和質點分佈都以流體流動的初始狀態為依據，而且這些質點具有一定的速度和能量。計算開始後,質點在歐拉網格之間遷移,表示流體在運動。

在每個時間步長內，計算分兩步：第一步用歐拉法計算，即忽略偏微分方程中的輸運效應，用差分方法計算由壓力分佈所引起的歐拉網格上速度（或動量）和能量的變化。若一個網格內含有多種流體，就應按一定的規則把能量的改變量適當分配給不同的質點。第二步是質點遷移計算，它是在第一步的基礎上，按一定的加權平均方法計算出每個質點的速度和在時間步長結束時的新位置。一個質點從一個網格遷移到另一個網格，就把所攜帶的質量以及相應的動量和能量從原來的網格輸送到新的網格中去。這一步實質上是對第一步計算中忽略的輸運效應計算的補償。

在具有激波間斷的流動中，處理激波間斷是一個難題（見激波數值處理）。PIC法由於有非線性的耗散效應，不僅可以減少差分格式所引起的起伏現象，而且起着類似於人工粘性的作用。因此，PIC法能自動處理流動中的激波間斷。但在低速流動和固壁條件的計算中，這個耗散效應很弱，為了使計算穩定，還須引入人工粘性。

要得到較好的計算結果，除應考慮滿足一定的穩定性條件外，還須考慮每個單元內的質點數目和分佈以及它們的內能等。

在PIC法基礎上,人們提出了流體網格法(fluid-in-cell method),簡稱FLIC法。它和PIC法一樣採用歐拉網格，不同的只是在第二步計算中不計算質點的遷移，而計算連續流體的遷移，即先算出通過網格邊界的質量輸送量，得出每個網格的新密度，再算出通過網格的質量所攜帶的動量和能量的輸送量，最後得到每個網格的新速度和能量。FLIC法還有一套局部網格單元的計算格式，能計算一些邊界形狀比較複雜的問題。

計算二維不可壓縮粘性流動的 PIC法後來還發展成為所謂標記網格法(marker-and-cell method),簡稱MAC法。此法仍然採用歐拉矩形網格單元，對納維－斯托克斯方程則用差分近似，而把壓力和速度分量作為基本未知量。此外,這種方法還在網格中佈置適量的標記點,但這種標記點和PIC法中的質點不同，本身並不帶有質量。在每一個時間步長上,只用PIC法中確定質點速度的方法來確定每個標記的速度，並在整個計算中跟蹤每個標記，以判定網格里有哪種流體存在。 因此MAC法能用於計算多種流體和帶有自由面的問題。

近年來，在研究爆炸和高速碰撞的現象中還發現介質會經歷從固體（彈性、塑性、斷裂）到流體的各個階段，因而在計算時必須考慮固體強度效應，為此在PIC、FLIC和MAC等方法的基礎上又導出一種計算流體-彈塑性流動的方法(computational method of hydro-elastic-plastic flow)。其中最典型的是HELP編碼(HELP code)計算方法。HELP編碼包括三個步驟：第一步計算壓力效應;第二步計算輸運效應;第三步計算應力偏量效應。此外在多種介質界面和自由表面上引入一些沒有質量的標記點,用以確定界面和自由面的位置。此外,近年來還廣泛採用其他一些類型的歐拉-拉格朗日的混合方法。 最常用的是任意拉格朗日－歐拉方法(Arbitrary　lagrangian-Eulerian Method)，簡稱ALE法。它將離散化的方程建立在既非歐拉，又非拉格朗日的任意活動的網格上，以達到不斷重分網格，適應大變形計算的目的。

質點網格法以及由它演變出來的其他方法都具有數值模擬的特點。這些方法大都直接來源於對物理問題的描述，受數學方程的約束較小，因此能廣泛應用於流體動力學的各個領域,如爆炸、燃燒、高速碰撞以及物理－化學流體動力學、液體動力學等方面，甚至還可應用於電流體動力學、磁流體力學和相對論流體力學等方面。但是，對上述的研究還很不夠，許多問題還只處於實驗階段。

B. Alder, et al.,ed.,Methods　in　Computational Physics,Vol.3,Academic　Press, New Yord,1964.

P.J.羅奇著,鍾錫昌、劉學宗譯:《計算流體動力學》，科學出版社，北京,1983。(P. J. Roache, Computational Fluid Dynamics, Hermosa Pub.,Albuquerque,1972.)