費爾巴哈定理

三角形的九點圓與其內切圓以及三個旁切圓相切。

設△ABC的內心為I，九點圓的圓心為V。三邊中點分別為L，M，N，內切圓與三邊的切點分別是P，Q，R，三邊上的垂足分別為D，E，F。

不妨設AB ＞ AC。

假設⊙I與⊙V相切於點T，那麼LT與⊙I相交，設另一個交點為S。

過點S作⊙I的切線，分別交AB和BC於V，U，連接AU。

又作兩圓的公切線TX，使其與邊AB位於LT的同側。

由假設知 ∠XTL=∠LDT

而TX和SV都是⊙I的切線，且與弦ST所夾的圓弧相同，於是 ∠XTL=∠VST

因此 ∠LDT=∠VST

則 ∠UDT+∠UST=180°

這就是説，S，T，D，U共圓。

而這等價於：LU×LD=LS×LT

又 LP²=LS×LT

故有 LP²=LU×LD

另一方面，T是公共的切點，自然在⊙V上，因此 L，D，T，N共圓，進而有 ∠LTD=∠LND

由已導出的S，T，D，U共圓，得

∠LTD=∠STD=180°-∠SUD=∠VUB=∠AVU-∠B

而 ∠LND=∠NLB-∠NDB=∠ACB-∠NBD=∠C-∠B

（這裏用了LN∥AC，以及直角三角形斜邊上中線等於斜邊的一半）

所以，就得到 ∠AVU=∠C

注意到AV，AC，CU，UV均與⊙I相切，於是有

∠AIR=∠AIQ ∠UIS=∠UIP ∠RIS=∠QIS

三式相加，即知 ∠AIU=180°

也即是説，A，I，U三點共線。

另外，AV=AC，這可由△AIV≌△AIC得到。

（這説明，公切點T可如下得到：連接AI，並延長交BC於點U，過點U作⊙I的切線，切點為S，交AB於V，最後連接LS，其延長線與⊙I的交點即是所謂的公切點T。）

連接CV，與AU交於點K，

則 K是VC的中點。

前面已得到：LP²=LU×LD

而 2LP=(BL+LP)-(CL-LP)=BP-CP=BR-CQ=(BR+AR)-(CQ+AQ)=AB-AC=AB-AV=BV

即 LP=

BV

然而 LK是△CBV的中位線

於是 LK=

BV

因此 LP=LK

故 LK²=LU×LD

由於以上推導均可逆轉，因此我們只需證明： LK²=LU×LD。

這等價於：LK與圓KUD相切

於是只需證：∠LKU=∠KDU

再注意到 LK∥AB（LK是△CBV的中位線），即有

∠LKU=∠BAU

又AU是角平分線，於是 ∠LKU=∠CAU=∠CAK

於是又只需證：∠CAK=∠KDU

即證：∠CAK+∠CDK=180°

這即是證：A，C，D，K四點共圓

由於 AK⊥KC（易得），AD⊥DC

所以 A，C，D，K四點共圓。

這就證明了⊙I與⊙V內切。

旁切圓的情形是類似的。

證畢

另略證：

OI^2=R^2-2Rr

IH^2=2r^2-2Rr'

OH^2=R^2-4Rr'(其中r'是垂心H的垂足三角形的內切圓半徑，R、r是三角形ABC外接圓和內切圓半徑)

FI^2=1/2(OI^2+IH^2)-1/4OH^2=(1/2R-r)^2

FI=1/2R-r這就證明了九點圓與內切圓內切（九點圓半徑為外接圓半徑一半。F是九點圓圓心，I為內心）