貪心算法

貪心算法的基本思路是從問題的某一個初始解出發一步一步地進行，根據某個優化測度，每一 步都要確保能獲得局部最優解。每一步只考慮一 個數據，其選取應該滿足局部優化的條件。若下 一個數據和部分最優解連在一起不再是可行解時， 就不把該數據添加到部分解中，直到把所有數據枚舉完，或者不能再添加算法停止。 ^[9] 

貪心算法一般按如下步驟進行： ^[2] 

①建立數學模型來描述問題 ^[2]  。

②把求解的問題分成若干個子問題 ^[2]  。

③對每個子問題求解，得到子問題的局部最優解 ^[2]  。

④把子問題的解局部最優解合成原來解問題的一個解 ^[2]  。

貪心算法是一種對某些求最優解問題的更簡單、更迅速的設計技術。貪心算法的特點是一步一步地進行，常以當前情況為基礎根據某個優化測度作最優選擇，而不考慮各種可能的整體情況，省去了為找最優解要窮盡所有可能而必須耗費的大量時間。貪心算法採用自頂向下，以迭代的方法做出相繼的貪心選擇，每做一次貪心選擇，就將所求問題簡化為一個規模更小的子問題，通過每一步貪心選擇，可得到問題的一個最優解。雖然每一步上都要保證能獲得局部最優解，但由此產生的全局解有時不一定是最優的，所以貪心算法不要回溯 ^[2]  。

貪心算法的核心問題是選擇能產生問題最優解的最優度量標準，即具體的貪心策略。 ^[9] 

貪心算法可解決的問題通常大部分都有如下的特性： ^[3] 

1、有一個以最優方式來解決的問題。為了構造問題的解決方案，有一個候選的對象的集合：比如不同面值的硬幣 ^[3]  。

2、隨着算法的進行，將積累起其他兩個集合：一個包含已經被考慮過並被選出的候選對象，另一個包含已經被考慮過但被丟棄的候選對象 ^[3]  。

3、有一個函數來檢查一個候選對象的集合是否提供了問題的解答。該函數不考慮此時的解決方法是否最優 ^[3]  。

4、還有一個函數檢查是否一個候選對象的集合是可行的，即是否可能往該集合上添加更多的候選對象以獲得一個解。和上一個函數一樣，此時不考慮解決方法的最優性 ^[3]  。

5、選擇函數可以指出哪一個剩餘的候選對象最有希望構成問題的解 ^[3]  。

6、最後，目標函數給出解的值 ^[3]  。

利用貪心法求解的問題應具備如下2個特徵 ^[4]  。

一個問題的整體最優解可通過一系列局部的最優解的選擇達到，並且每次的選擇可以依賴以前作出的選擇，但不依賴於後面要作出的選擇。這就是貪心選擇性質。對於一個具體問題，要確定它是否具有貪心選擇性質，必須證明每一步所作的貪心選擇最終導致問題的整體最優解 ^[4]  。

當一個問題的最優解包含其子問題的最優解時，稱此問題具有最優子結構性質。問題的最優子結構性質是該問題可用貪心法求解的關鍵所在。在實際應用中，至於什麼問題具有什麼樣的貪心選擇性質是不確定的，需要具體問題具體分析 ^[4]  。

貪心算法不從整體最優上加以考慮，所做出的僅是在某種意義上的局部最優選擇。使用貪心策略要注意局部最優與全局最優的關係，選擇當前的局部最優並不一定能推導出問題的全局最優。貪心策略解題需要解決以下兩個問題： ^[5] 

1、該問題是否適合使用貪心策略求解，也就是該問題是否具有貪心選擇性質 ^[5]  ；

2、制定貪心策略，以達到問題的最優解或較優解 ^[5]  。

要確定一個問題是否適合用貪心算法求解，必須證明每一步所作的貪心選擇最終導致問題的整體最優解。證明的大致過程為：首先考察問題的一個整體最優解，並證明可修改這個最優解，使其以貪心選擇開始，做了貪心選擇後，原問題簡化為規模更小的類似子問題。然後用數學歸納法證明通過每一步做貪心選擇，最終可得到問題的整體最優解 ^[5]  。

貪心算法也存在如下問題： ^[6] 

1、不能保證解是最佳的。因為貪心算法總是從局部出發，並沒從整體考慮 ^[6]  ；

2、貪心算法一般用來解決求最大或最小解 ^[6]  ；

3、貪心算法只能確定某些問題的可行性範圍 ^[6]  。

例如，平時購物找零錢時，為使找回的零錢的硬幣數最少，不要求找零錢的所有方案，而是從最大面值的幣種開始，按遞減的順序考慮各面額，先儘量用大面值的面額，當不足大面值時才去考慮下一個較小面值，這就是貪心算法 ^[7]  。

有很多經典的應用，比如霍夫曼編碼，普利姆和克魯斯卡爾最小生成樹算法，還有迪傑斯特拉單源最短路徑算法，都是使用了這種思維。 ^[8]