貝爾函數

在數學，貝爾函數是從獲得的連續函數的函數，通過形成的功能序列的逐點限制的操作的超限迭代。它們是由René-Louis Baire於1899年引入的。Baire集是一個特徵函數是Baire函數的集合。

對於任何可數的序數α，α類的貝爾函數形成了在拓撲空間上定義的實值函數的向量空間，如下所示。

一些作者通過從類α的函數中去除小於α的類的所有函數來稍微不同地定義類。這意味着每個Baire函數都有一個定義良好的類，但給定類的函數不再構成一個向量空間。

亨利·勒貝格（Henri Lebesgue）證明了（對於單位區間的函數）每個可數序數的Baire類包含的函數不在任何較小的類中，並且存在不在任何Baire類中的函數 ^[1]  。

例子：

任何微分函數的導數都是1類的。導數不連續（x= 0）的可微函數的一個例子是等於

當x≠0時，以及當x= 0時為0。一個無限的相似函數的總和（通過有理數進行縮放和移位）甚至可以給出一個可微函數，其導數在稠密集上是不連續的。然而，它必然具有連續性點，這很容易從Baire表徵定理中得到（K=X=R）。

整數集合的特徵函數，如果x是整數，則等於1，否則為0。（無數個大的不連續點）

Thomae函數，無理數x為0，有理數p/q（簡約形式）為1 /q。（一組稠密的不連續性，即有理數的集合。）

康托爾集合的特徵函數，如果x在康托爾集合中，則等於1，否則為0。這個函數對於一組不可數的x值是0，對於不可數組是1。它在任何等於1的地方都是不連續的，在任何等於0的地方都是連續的。它通過連續函數來近似

，在哪裏

是Cantor集合中距離最近點的距離。

貝爾函數表徵定理指出，在分支空間X上定義的實值函數f是Baire-1函數，當且僅當對於X的每個非空封閉子集K，f對K的限制都有一個相對連續點到K的拓撲。

通過Baire的另一個定理，對於每Baire-1功能的連續性的點是comeagerģ_δ集（1995年Kechris，定理（24.14）） ^[2]  。

例子：

不屬於等級1的區間[0,1]上的Baire二類函數的一個例子是有理數的特徵函數，

，也被稱為Dirichlet函數。到處都是不連續的。這可以通過注意到，對於任何有限的理性集合而言，這個集合的指標函數是Baire 1：即函數

同樣收斂於指標函數

，在哪裏 是理性的有限集合。由於理性是可數的，我們可以看看這些事情的點狀限制

，在哪裏

是合理的列舉。根據上述定理，不是Baire-1：不連續點是整個區間 ^[3]  。