變異數分析

用來比較多個母羣平均數間差異顯著性的一種統計分析方法。

用來分析多個羣體中的計量型數據，以便比較變異的意義和分析其來源。

變異數分析，ANOVA（Analysis Of Variance），又稱方差分析。 ^[1] 

方差分析（ANOVA）是一種特殊形式的統計假設檢定，廣泛應用於實驗數據的分析中。統計假設檢定是一種根據數據進行決策的方法。測試結果（通過零假設進行計算）如果不僅僅是因為運氣，則在統計學上稱為顯著。統計顯著的結果（當可能性的p值小於臨界的“顯著值”）則可以推翻零假設。

在方差分析的經典應用中，原假設是假設所有數據組都是整體測試對象的完全隨機抽樣。這説明所有方法都有相同效果（或無效果）。推翻原假設説明不同的方法，會得到不同的效果。在操作中，假設測試限定I類型錯誤（假陽性導致的假科學論斷）達到某一具體的值。實驗者也希望II型錯誤（假陰性導致的缺乏科學發現）有限。II型錯誤受到多重因素作用，例如取樣範圍（很可能與試驗成本有關），相關度（當實驗標準高的時候，忽視發現的可能性也大）和效果範圍（當對一般觀察者來説效果明顯，II型錯誤發生率就低）。 ^[1] 

方差分析（ANOVA）又稱“變異數分析”或“F檢驗”，是R.A.Fister發明的，用於兩個及兩個以上樣本均數差別的顯著性檢驗。

由於各種因素的影響，研究所得的數據呈現波動狀。造成波動的原因可分成兩類，一是不可控的隨機因素，另一是研究中施加的對結果形成影響的可控因素。

一個複雜的事物，其中往往有許多因素互相制約又互相依存。方差分析的目的是通過數據分析找出對該事物有顯著影響的因素，各因素之間的交互作用，以及顯著影響因素的最佳水平等。方差分析是在可比較的數組中，把數據間的總的“變差”按各指定的變差來源進行分解的一種技術。對變差的度量，採用離差平方和。方差分析方法就是從總離差平方和分解出可追溯到指定來源的部分離差平方和，這是一個很重要的思想。

經過方差分析若拒絕了檢驗假設，只能説明多個樣本總體均數不相等或不全相等。若要得到各組均數間更詳細的信息，應在方差分析的基礎上進行多個樣本均數的兩兩比較。

1、多個樣本均數間兩兩比較

多個樣本均數間兩兩比較常用q檢驗的方法，即Newman-kueuls法，其基本步驟為：建立檢驗假設-->樣本均數排序-->計算q值-->查q界值表判斷結果。

2、多個實驗組與一個對照組均數間兩兩比較

多個實驗組與一個對照組均數間兩兩比較，若目的是減小第II類錯誤，最好選用最小顯著差法（LSD法）；若目的是減小第I類錯誤，最好選用新復極差法，前者查t界值表，後者查q'界值表。 ^[1] 

基本思想：通過分析研究中不同來源的變異對總變異的貢獻大小，從而確定可控因素對研究結果影響力的大小。

下面我們用一個簡單的例子來説明方差分析的基本思想：

如某克山病區測得11例克山病患者和13名健康人的血磷值（mmol/L）如下：

患者：0.84 1.05 1.20 1.20 1.39 1.53 1.67 1.80 1.87 2.07 2.11

健康人：0.54 0.64 0.64 0.75 ^[2]  0.76 0.81 1.16 1.20 1.34 1.35 1.48 1.56 1.87

問該地克山病患者與健康人的血磷值是否不同？

從以上資料可以看出，24個患者與健康人的血磷值各不相同，如果用離均差平方和（SS）描述其圍繞總均數的變異情況，則總變異有以下兩個來源：

組內變異，即由於隨機誤差的原因使得各組內部的血磷值各不相等；

組間變異，即由於克山病的影響使得患者與健康人組的血磷值均數大小不等。

而且：SS總=SS組間+SS組內 v總=v組間+v組內

如果用均方（即自由度v去除離均差平方和的商）代替離均差平方和以消除各組樣本數不同的影響，則方差分析就是用組內均方去除組間均方的商（即F值）與1相比較，若F值接近1，則説明各組均數間的差異沒有統計學意義，若F值遠大於1，則説明各組均數間的差異有統計學意義。實際應用中檢驗假設成立條件下F值大於特定值的概率可通過查閲F界值表（方差分析用）獲得。

方差分析的應用條件

應用方差分析對資料進行統計推斷之前應注意其使用條件，包括：

1、可比性。若資料中各組均數本身不具可比性則不適用方差分析。

2、正態性。即偏態分佈資料不適用方差分析。對偏態分佈的資料應考慮用對數變換、平方根變換、倒數變換、平方根反正弦變換等變量變換方法變為正態或接近正態後再進行方差分析。

3、方差齊性。即若組間方差不齊則不適用方差分析。多個方差的齊性檢驗可用Bartlett法，它用卡方值作為檢驗統計量，結果判斷需查閲卡方界值表。 ^[2] 

根據資料設計類型的不同，有以下兩種方差分析的方法：

1、對成組設計的多個樣本均數比較，應採用完全隨機設計的方差分析，即單因素方差分析。

2、對隨機區組設計的多個樣本均數比較，應採用配伍組設計的方差分析，即兩因素方差分析。

兩類方差分析的基本步驟相同，只是變異的分解方式不同，對成組設計的資料，總變異分解為組內變異和組間變異（隨機誤差），即：SS總=SS組間+SS組內，而對配伍組設計的資料，總變異除了分解為處理組變異和隨機誤差外還包括配伍組變異，即：SS總=SS處理+SS配伍+SS誤差。整個方差分析的基本步驟如下：

1、建立檢驗假設；

H0：多個樣本總體均數相等；

H1：多個樣本總體均數不相等或不全等。

檢驗水準為0.05。

2、計算檢驗統計量F值；

3、確定P值並作出推斷結果。 ^[2] 

1、均數差別的顯著性檢驗；

2、分離各有關因素並估計其對總變異的作用；

3、分析因素間的交互作用；

4、方差齊性檢驗。 ^[2]