變分方法

變分學的研究對象　17世紀末提出來的最速降線問題、短程線問題和等周問題是歷史上著名的三大變分問題。泛函的極值是變分學的研究對象,其奠基人是L.歐拉、J.-L.拉格朗日、雅各布第一·伯努利和約翰第一·伯努利。

為了説明變分問題的特點，可以最小旋轉面問題為例。它可表述為:"通過兩個固定點(x1,y1)和(x2,y2)，可作一系列曲線y=y(x)，其中每條曲線繞x軸旋轉一週都可得到一個旋轉面，其面積為S；試求出使面積S為最小值的那條曲線y=y(x)。"顯然,面積S取決於曲線的形式y=y(x)，即由此可見，面積S是一個因變量,而函數y(x)是一個自變函數，因此，S是自變函數y(x)的函數：S=S【y(x)】。這種"函數的函數"在數學上叫泛函。所以，最小旋轉面問題是一個泛函極值問題，這類問題就是變分學研究的內容。

變分原理實際上就是以變分形式表述的物理定律，也就是説，在所有滿足一定約束條件的可能物質運動狀態中，真實的運動狀態應使某物理量取極值或駐值。重要的變分原理舉例如下：

①　費馬原理　光線通過介質時，與一切可能路徑相比，真實路徑使傳播時間最短。

②　哈密頓原理　在保守、完整的力學體系中，由初態過渡到終態的一切可能運動狀態中，真實的運動狀態使作用函數取駐值。這裏，T和U分別為體系的動能和勢能（見能），t0和t1為相應於初態和終態的時刻。

③　最小勢能原理　在彈性平衡問題中，與一切滿足位移邊界條件的可能位移相比，真實位移使彈性體的勢能為極小值。

④　最小余能原理　在彈性平衡問題中，與一切滿足平衡微分方程與外力邊界條件的可能應力相比，真實應力使彈性體的餘能為極小值。

歐拉方程及其與變分問題的等價性 　變分問題可以化成等價的微分方程問題。例如，在固定邊界的條件下，使泛函取極值的函數滿足下列微分方程：這個微分方程通常稱為歐拉方程。

歐拉方程與變分問題是等價的。它是微分方程形式與變分形式物理定律等價性的數學描述，變分原理則賦予微分方程問題與變分問題等價性以豐富的具體內容。雖然物理問題可以有兩種等價的提法，但在求近似解時，從求泛函的極值或駐值出發，有時比從微分方程出發更為方便。因此，變分方法日益受到重視，併成為計算力學的重要方法之一。

變分方法大致經歷了古典變分法與有限元法兩個階段，20世紀50年代以前是第一階段。雖然30～40年代已經有有限元法的雛型，但只有當60年代高速電子計算機問世以後，才使有限元法得到迅速發展。70年代後，有限元法已從結構力學和固體力學滲透到流體力學和其他領域，這是變分方法發展的第二階段。

里茲法是最常用的古典變分方法，其要點如下：首先選取一組基函數（如多項式、三角函數），它們滿足變分原理中的約束條件（如最小勢能原理中的位移條件），然後用基函數的線性組合來逼近問題的真解，其中待定的係數就是所求的基本未知量。這樣，原來求未知函數的問題就轉化為求有限個未知數的問題，原來是泛函的駐值條件則轉化為多元函數的駐值條件。最後應用多元函數的駐值條件建立一組代數方程，用以確定上述的待定係數，就可得到問題的近似解。當應用於多變量函數時，待定的係數是其中某一變量的函數。此外，還可直接從微分方程出發，並用積分控制誤差，使之最小。至於取基函數和逼近問題真解的方法與上述無異。這也屬於變分方法的範疇，其中包括伽遼金方法、最小二乘法、配置法、加權殘數法等。對於形狀簡單的問題，根據對問題物理性質的瞭解與經驗，容易測知正確的基函數系，而且往往只要一、二項就可得到較準確的結果。

古典變分方法的主要困難是選取基函數。這是由於它的基函數是在全域範圍內選取的，需要滿足全部約束條件，這類函數往往很難尋找，特別是對於複雜形狀和約束條件的情況。

有限元法是古典變分法與分片插值法相結合的產物。它不是在全域範圍內選取基函數，而是先將全域分成單元，在單元範圍內用低次多項式分片插值，再將它們組合起來，形成全域內的函數，用以逼近問題的真解。這樣既避免了古典方法尋找基函數的困難，而且不規則剖分比差分方法具有更大的靈活性和適應性，所以應用範圍極廣，能計算物理和工程中的各種複雜問題。有限元法在近20年中發展迅速，已成為理論分析與工程設計的一種有效工具，這是當代計算數學的重大成就之一。