説謊者悖論

公元前6世紀，克里特哲學家埃庇米尼得斯（Epimenides）説了一句很有名的話：“我的這句話是假的。”

這句話之所以稱為説謊者悖論，在於它沒有答案。因為如果埃庇米尼得斯的這句話是真的，那就不符合這句話“我的這句話是假的”，則這句話是假的；如果這句話是假的，那就符合這句話“我的這句話是假的”，則這句話是真的。因此這句話是無解的。這就是一個自我指涉引發的悖論。《斯坦福哲學百科全書》“悖論與當代邏輯” ^[3]  條目將各種不同的悖論分類，並介紹了悖論與當代邏輯關係和解悖策略。

問題並不簡單：哲學家羅素曾經認真地思考過這個悖論，並試圖找到解決的辦法。他在《我的哲學的發展》第七章《數學原理》裏説道：“自亞里士多德以來，無論哪一個學派的邏輯學家，從他們所公認的前提中似乎都可以推出一些矛盾來。這表明有些東西是有毛病的，但是指不出糾正的方法是什麼。在1903年的春季，其中一種矛盾的發現把我正在享受的那種邏輯蜜月打斷了。”

他説：謊言者悖論最簡單地勾畫出了他發現的那個矛盾：“那個説謊的人説：‘不論我説什麼都是假的’。事實上，這就是他所説的一句話，但是這句話是指他所説的話的總體。只是把這句話包括在那個總體之中的時候才產生一個悖論。”

羅素試圖用命題分層的辦法來解決：“第一級命題我們可以説就是不涉及命題總體的那些命題；第二級命題就是涉及第一級命題的總體的那些命題；其餘仿此，以至無窮。”但是這一方法並沒有取得成效。“1903年和1904年這一整個時期，我差不多完全是致力於這一件事，但是毫不成功。”

《數學原理》嘗試整個純粹的數學是在純邏輯的前提下推導出來的，並且使用邏輯術語説明概念，迴避自然語言的歧意。但是他在書的序言裏稱這是：“發表一本包含那麼多未曾解決的爭論的書。”可見，從數學基礎的邏輯上徹底地解決這個悖論並不容易。接下來他指出，在一切邏輯的悖論裏都有一種“反身的自指”，就是説，“它包含講那個總體的某種東西，而這種東西又是總體中的一份子。”這一觀點比較容易理解，如果這個悖論是克利特以外的什麼人説的，悖論就會自動消除。但是在集合論裏，問題並不這麼簡單。

事實上，我們要討論這個悖論，問“這句話是不是正確的”是沒有意義的。我們充其量只能問："這個模型是否滿足人類邏輯？"

很明顯，這句話是對它本身的描述，因此他是一個模型。而這個模型的建立，需要在以下邏輯上：

“如果A，那麼非A。”

但這種邏輯不被人類邏輯所允許，換言之，這個模型無法在人類邏輯中建立（或者説，它與人類邏輯不協調）也就是説：這句話在本質上就不存在於人類模型中，因此，討論“它是否正確”是無意義的。

《斯坦福哲學百科全書》説謊者悖論（Liar Paradox） ^[1]  條目的第四章，介紹了自今為止的對悖論該解決方案，並且分成下面的類別。

上面每個類別中含有若干解悖方案。