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調和數列
鎖定
調和級數,數學術語,是各項倒數為等差數列的級數,各項倒數所成的數列(不改變次序)為等差數列。從第2項起,它的每一項是前後相鄰兩項的調和平均,故名。
- 中文名
- 調和數列
- 外文名
- harmonic sequence
- 應用學科
- 數學
調和數列簡介
調和級數是各項倒數為等差數列的級數,通常指項級數
推而廣之,具有這種性質的每一個級數,即形如
歐拉 (Euler,L.) 計算過
與
是等價無窮大,更準確地,有
,其中 C=0.577 215... 是歐拉常數,
。這是歐拉於1740 年發現的,更一般地,級數
調和數列定義
定義1:正整數的倒數組成的數列,稱為調和數列。
定義2:若數列
滿足
(n∈N*,d為常數),則稱數列
調和數列。
調和數列性質
調和數列的前n項和不是整數
對任意正整數n∈N,有
不是整數。
證明:若不然,則令
(k∈Z)。考察正整數
,使得
,由整數的唯一分解性,對任意整數
有
,其中
(事實上當且僅當
時等號取得,若不然則有
)。令
為1—n最小公倍數,則有
為偶數(因為B中顯然有因子2),但
為奇數(因為B中最多隻有
個因子2),
為偶數(因為
)。故有
為奇數但
為偶數,矛盾!所以假設不成立,
非整。
調和級數發散
人們已經研究調和數列已經幾百年了.但是迄今為止沒有能得到它的求和公式只是得到它的近似公式(當n很大時):
當
時
這個級數是發散的。簡單的説,結果為
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用高中知識也是可以證明的,如下:
對於任意一個正數
,把
分成有限個
,必然能夠找到
,使得
所以
時,
(由
也可證明)。