萬尼爾函數

對任意晶格常數為Λ的週期絕緣體，其哈密頓量H均存在本徵態組成的正交基，且同時為平移算符的本徵函數，記為Ψ_nk(r)：

|Ψ_nk＞=(1/√n(k))(1/√N)∑_le^ik·Rl|nl＞,

其中n(k)為歸一化因子。 ^[1] 

則中心位於R∈Λ的單胞的能帶n對應的萬尼爾函數定義為

|w_nR＞=(1/A)∫_BZdke^-ik·R|Ψ_nk＞,

其中A為布里淵區的面積。 ^[2] 

由於H的本徵態的定義可以差一個相位，故給定一組{Ψ_nk(r)}，可以通過如下替換重新定義萬尼爾函數

Ψ_nk(r)↦e^iλ(nk)Ψ_nk(r),

其中{λ(nk)}_k∈BZ⊆ℝ。更一般地，若體系有N個能帶，其簡併度由N×N個幺正矩陣{U^(k)}_k∈BZ決定，則替換變為

Ψ_nk(r)↦∑_mU^(k)_nmΨ_nk(r),

可保持佔據子空間不變。

該替換稱為規範變換，{U^(k)}_k∈BZ稱為規範的選取。選取不同的規範，可以決定對應的萬尼爾函數是否在空間中局域。 ^[2] 

以指數形式衰減的萬尼爾函數稱為指數局域化萬尼爾函數。Brouder等人證明了在二維與三維，指數局域化萬尼爾函數的存在的充要條件為其能帶的陳不變量為0。 ^[3]