菲克定律

菲克定律包括兩個內容：

（1）早在1855年，菲克就提出了：在單位時間內通過垂直於擴散方向的單位截面積的擴散物質流量（稱為擴散通量Diffusion flux，用J表示）與該截面處的濃度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是説，濃度梯度越大，擴散通量越大。這就是菲克第一定律。

（2）菲克第二定律是在第一定律的基礎上推導出來的。菲克第二定律指出，在非穩態擴散過程中，在距離x處，濃度隨時間的變化率等於該處的擴散通量隨距離變化率的負值。

1858年，菲克參照傅里葉於1822年建立的熱傳導方程，建立了描述物質從高濃度區向低濃度區遷移的擴散方程。

在單位時間內通過垂直於擴散方向的單位截面積的擴散物質流量（稱為擴散通量Diffusion flux，用J表示）與該截面處的濃度梯度(Concentration gradient)成正比，也就是説，濃度梯度越大，擴散通量越大。數學表達式如下：

式中， D稱為擴散係數(m²/s)，C為擴散物質（組元）的體積濃度(原子數/m³或kg/m³)，∂C/∂x為濃度梯度，“–”號表示擴散方向為濃度梯度的反方向，即擴散組元由高濃度區向低濃度區擴散。擴散通量J的單位是kg / （m²·s）。

對於三維的擴散體系，作為矢量的擴散通量J可分解為x、y、z座標軸方向上的三個分量Jx、Jy、Jz此時擴散通量可寫成：

或者

其中，i、j、k表示x、y、z方向的單位矢量。J為擴散通量，為一個三維向量場，D為擴散係數，為一個二階張量，C為濃度，為一個數量場，▽為梯度算子。

上面兩個式子為菲克第一定律的數學表達式，它是描述擴散現象的基本方程。菲克第一定律指出：在任何濃度梯度驅動的擴散體系中，物質將沿起其濃度場決定的負梯度方向進行擴散，其擴散流大小與濃度梯度成正比。值得注意的是，擴散方程是描述宏觀擴散現象的唯象關係式，其中並不涉及擴散系統內部原子運動的微觀過程，擴散係數反映了擴散系統的特性。擴散方程中濃度C是位置和時間的函數，擴散係數D理論上是一個含有9個分量的二階張量，與擴散系統的結構對稱性密切相關。 ^[2] 

擴散物質在擴散介質中的濃度分佈隨時間發生變化的擴散常稱為不穩定擴散，其擴散通量隨位置與時間變化。對於不穩定擴散，可以從物質的平衡關係着手，建立第二擴散微分方程式。

菲克第二定律是在第一定律的基礎上推導出來的。菲克第二定律指出，在非穩態擴散過程中，在距離x處，濃度隨時間的變化率等於該處的擴散通量隨距離變化率的負值，得

這就是菲克第二定律的數學表達式。如果擴散係數D隨座標x變化不大，可近似看成常數，則該式可以寫成

上式中，C為擴散物質的體積濃度(kg/m^3), t為擴散時間(s), x為距離(m)。實際上，固溶體中溶質原子的擴散係數D是隨濃度變化的，為了使求解擴散方程簡單些，往往近似地把D看作恆量處理。

對於各向同性的三維擴散體系，菲克第二擴散方程可寫為：

對於球對稱擴散，上式可變換為極座標表達式：

菲克第二擴散方程描述了不穩定擴散條件下介質中各點物質濃度由於擴散而發生的變化。根據各種具體的起始條件和邊界條件，對菲克第二擴散方程進行求解，便可得到相應體系物質濃度隨時間、位置變化的規律。 ^[2] 

菲克定律裏的穩態擴散和非穩態擴散

菲克第一定律只適應於J和C不隨時間變化——穩態擴散(Steady-state diffusion)的場合。所謂穩定擴散是指擴散過程中擴散物質的濃度分佈不隨時間變化的擴散過程，這類問題可直接用菲克第一定律解決。對於穩態擴散也可以描述為：在擴散過程中，各處的擴散組元的濃度C只隨距離x變化，而不隨時間t變化，每一時刻從前邊擴散來多少原子，就向後邊擴散走多少原子，沒有盈虧，所以濃度不隨時間變化。

實際上，大多數擴散過程都是在非穩態條件下進行的。

不穩定擴散是指擴散過程中擴散物質的濃度分佈隨時間變化的一類擴散過程。典型不穩定擴散中典型的邊界條件可分為兩種情況：第一種情況是在整個擴散中擴散質點在晶體表面的濃度C0保持不變；第二種情況是一定量的擴散物質Q由表面向內部擴散。

不穩定擴散(Nonsteady-state diffusion)的特點是：在擴散過程中，J隨時間和距離變化。通過各處的擴散通量J隨着距離x在變化，而穩態擴散的擴散通量則處處相等，不隨時間而發生變化。對於非穩態擴散，就要應用菲克第二定律了。 ^[2]