自適應網格

自適應網格方法是指計算中，在某些變化較為劇烈的區域，如大變形、激波面、接觸間斷面和滑移面等，網格在迭代過程不斷調節，將網格細化，做到網格點分佈與物理解的耦合，從而提高解的精度和分辨率的一種技術。自適應網格希望在物理解變動較大的區域網格自動密集，而在物理解變化平緩區域網格相對稀疏，這樣在保持計算高效率的同時得到高精度的解。自適應網格技術主要有移動網格方法和局部細化或粗化的網格方法。近年來，自適應網格方法一直引起國際學術界和各類應用部門的高度重視，並且成為網格方法研究的熱點問題，發展了很多方法，在一些領域應用非常廣泛。

自適應網格技術對衝壓成型是至關重要的，因為初始的衝壓板材通常比較平坦、形狀很簡單，採用有限元網格離散化時，如果網格較粗，可能引起較大誤差。但如果採用細密的有限元網格，將增加單元的總數，並且由於單元尺寸減小將降低極限時步長，增加計算的機時。雖然採用局部細分網格可以節省機時，但由於板料大變形和在模具中相對滑動，難以預測局部細分網格在初始狀態板料上的位置，而且局部細分網格在前處理時也有很大麻煩。自適應網格技術剛好解決了這一問題，並在時間與精度上巧妙地取得了平衡。自適應網格技術提高了對零件的表面質量(表面缺陷、擦傷、微皺紋等現象)判斷的準確性，並且可以節約大量的計算時間。

自適應網格法是一種高效且準確的數值方法，其網格結構可以隨着計算的推進而動態變化。自適應網格法的基本思想就是根據計算的實際需要以及問題的特性動態改變計算區域內的網格結構，在物理量變化劇烈的計算區域，採用空間尺度較小的精細網格予以計算；在物理量變化緩慢的區域，採用空間尺度較大的粗網格來計算，從而提高計算效率，也就是説自適應網格法可以動態追蹤流場內的鋒面運動 ^[1]  。

自適應網格的構造原理是通過座標變換將參數平面上的一個簡單區域(如矩形區域或多個矩形所組成的區域)變換到物理平面上的計算區域，使得矩形區域的邊界與計算區域邊界一一對應，區域內部與內部相對應。這樣一來，有限差分方法可直接在參數平面上進行計算，而無需考慮真實的區域邊界的形狀。即使當計算區域的邊界是非常定的，該座標的應用仍使得計算在參數平面上的一個固定的等距、均勻的矩形網格系統上進行，而其邊界始終與真實的區域邊界相重合。這樣做大大地減化了計算，使得邊界上的值可直接用於網格點上，而不需要任何形式上的插值，從而可以準確地表達邊界條件，有效地克服了等距差分網格在邊界上所帶來的誤差 ^[2]  。

在LS-DYNA中，自適應網格劃分方法可以分為兩種：h-adaptive方法和r-adaptive方法。

h-adaptive方法是指單元變形較大時，將單元細分為更小的單元以改善精度，目前僅適用於殼單元，主要用於金屬成型模擬、薄壁結構受壓屈曲等問題。

在h-adaptive方法中，某些單元分割為更小的單元以改善計算精度，如圖1所示，薄壁方形梁屈曲分析採用的是一級自適應網格劃分計算。LS-DYNA中採用自適應網格方法的目的在於使用有限的計算資源獲得最大的計算精度。用户設置好初始網格和自適應劃分級別後，程序根據需要將某些單元進行分割。雖然這種方法並不能完全解決求解過程中的誤差，但與固定網格相比，可以使用較少的單元和計算資源來儘可能地提高求解精度。

h-adaptive方法中，某些單元由於精度需要細分為更小的單元，這個過程稱為裂變。裂變後，新單元的邊長尺寸是原來的1/2，通過各邊中點以及單元質心，一個四邊形單元可以分割為四個四邊形單元，如圖2所示。

網格結構是數學模型空間離散的基礎，所有的離散步驟均是在各離散網格上進行的。對於點中心控制容積法，計算區域在理論上可以被劃分為任意形狀的網格，為了方便實施計算，一般採用正交規則網格系統。

自適應網格法的網格是一種多層網格結構，這意味着計算區域中存在有不同層次的網格，它們的空間尺度各不相同，從最細層（l=1）到最粗層（

），如圖3所示。所有網格層次中最基本的網格是計算開始前的初始網格，記為 l層網格。多孔介質的屬性均定義在該層網格上，例如絕對滲透率、孔隙度、多孔介質的輸運性質包括相對滲透率、毛管力函數關係等等，更為重要的是數值模擬過程中，多孔介質的上述性質在該層網格上視為均質。

在自適應網格法中，需要進行兩種操作：粗化與細化。當l層網格被細化後，數個l-1層網格被創建，一般記該l層網格為父網格，這些被創建的l-1層網格為子網格。當網格被粗化時，與細化相反，數個l層網格被一個更粗的l+1層網格所替代，但是在粗化中，需要遵循一個規則：只有那些來自於同一個父網格的較細層網格才可以被粗化為一個更粗層網格。值得注意的是，不同於多重網格法，自適應網格法的所有粗網格下均未定義精細網格，在所有的計算中，始終是定義在粗網格上的物理量參與數值計算。

為了確保計算穩定，自適應網格法一般要求相鄰網格的層次之差不超過1。同時相鄰網格上的網格尺寸滿足

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