自由分解

自由分解(free resolution)是一種特殊的投射分解。設M是A模，若有正合序列：

其中每個F_n都是自由模，由序列(1)決定的投射分解稱為模M的自由分解。每個模M都有自由分解。若在M的自由分解(*)中，每一個F_n都是有限生成自由模，且分解(*)長度有限(只有有限個F_n)，則(*)又稱為M的有限自由分解(FFR)。有有限自由分解的M必為有限生成模。 ^[1] 

投射分解是一種特殊的左復形。它是內射分解的對偶概念。設M是A模，M上的零調投射左復形稱為M的投射分解，它是一個正合列：

其中每個P_n都是投射模。每個模M都有投射分解，並且，除投射等價外是惟一確定的。

正合序列這個同調代數的基本概念為線性代數提供了一種方便的記號。設A為環。 A模的正合序列是由一個A模族(En)n∈z，與對任一有理整數n，從E_n到E_n+1的一個線性映射 f_n給定的序列，其中 f_n的像等於f_n+1的核：

Im(f_n)=Ker(f_n+1).

人們也稱圖：

為一正合序列。

記縮成其中性元素的A模為0。如果En=0，則寫出_fn-1與f_n是無用的，因為只有唯一一個從E_n-1到0中或從0到E_n-1中的線性映射。稱給定的三個A模E，F和G，以及滿足：

Im (f)=Ker(g)

的從E到F中的線性映射f及從F到G中的線性映射g為短正合序列。

例如，當環A為交換環時，函子E↦E⨂F及F↦E⊗F都是左正合的，但一般説來，它們不是右正合的。同樣，函子F↦(E， F)是共變的，且是左正合的，至於函子E↦(E， F)則是反變的， 右正合的。當A為交換體時，這些函子都是正合的。

一個重要的代數系統。它是一個帶算子區A的交換(加)羣M。給定集合A與交換羣M，若定義了a∈A與x∈M的乘積ax∈M，並且這個積滿足條件：

1.a(x+y)=ax+ay (a∈A，x，y∈M)，

則稱A為M的算子區，稱M為帶算子區A的模，又稱為A上的模或A模。這時，由對應(a，x)→ax確定的映射A×M→M，稱為A作用到M上的運算。任意a∈A可誘導出M的自同態a_M：x→ax，而考慮交換羣M能否成為A模就是看能否給出映射： ^[2] 

μ： A→End(M)，　a→a_M.

特別地，考慮A是結合環，若滿足上述條件1的A模還滿足：

2.(a+b)x=ax+bx;

3.(ab)x=a(bx);

即映射μ：A→End(M)為環同態，則稱M為左A模或左環模。由於A到M上的運算是寫在左側，所以M就稱為左A模，記為_AM。類似地，有右A模M，記為M_A。若A有單位元1，且又滿足條件：

4.1x=x (x∈M);

則稱M為酉模或幺模。

一類重要的模，它的性質最接近於域上的向量空間。對左A模M中的一組元素{x_α}_α∈I，若對任意有限和

a_αx_α=0 (a_α∈A)， ^[3] 

總藴涵着a_α=0 (α∈I)，則稱{x_α}_α∈I是線性無關的。若模M有一線性無關的生成元系{x_α}_α∈I，則稱{x_α}_α∈I是M的一組基，而有基的模M就稱為自由模。除環上的任意模都是自由模；主理想整環上的自由模的子模還是自由模；任意自由模都與形如A的模同構；任意模都是某個自由模的同態像。