起源
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e，作为数学常数，它的其中一个定义是
在1690年，莱布尼茨在信中第一次提到常数e。在论文中第一次提到常数e，是约翰·纳皮尔（John Napier）于1618年出版的对数著作附录中的一张表。但他没有记录这常数，只有由它为底计算出的一张自然对数列表，通常认为是由威廉·奥特雷德（William Oughtred ）制作。第一次把e看为常数的是雅各布·伯努利（Jacob Bernoulli）。欧拉也听说了这一常数，所以在27岁时，用发表论文的方式将e“保送”到微积分。
已知的第一次用到常数e，是莱布尼茨于1690年和1691年给惠更斯的通信，以b表示。1727年欧拉开始用e来表示这常数；而e第一次在出版物用到，是1736年欧拉的《力学》（Mechanica）。虽然以后也有研究者用字母c表示，但e较常用，终于成为标准。
用e表示的原因不明，但可能因为e是“指数”（exponential）一词的首字母。另一看法则称a，b，c和d有其他经常用途，e则是第一个可用字母。还有一种可能是，字母“e”是指欧拉的名字“Euler”的首字母。
以e为底的指数函数的重要方面在于它的函数与其导数相等。e是无理数和超越数（见林德曼-魏尔斯特拉斯定理，Lindemann-Weierstrass）。这是第一个获证的超越数，而非故意构造的（比较刘维尔数）；由夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）于1873年证明。
其实，超越数主要只有自然常数（e）和圆周率（π）。自然常数的知名度比圆周率低很多，原因是圆周率更容易在实际生活中遇到，而自然常数在日常生活中不常用。
自然常数的来法比圆周率简单多了。它就是当
即夜汗炒婆：
同时，它也等于
因为e=2.7182818284...，极为接近循环小数2.71828（1828循环），那就把循环小数化为分数
无理数证明
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由数学分析知
故 
其中
当
收敛性证明
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即序列
又明显有
另一方面，尝试证明
由于
所以
两边分别取倒数得
另外形式
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证法1
令
则已知
即
所以，
即
又易知对固定的
所以，对此给定
即
即
证毕.
则
证法2
欲证
另一方面，又有
则有
故有
证毕。
计算方法
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取Peano形式的余项
令上式
故有
即得
限制精度
其中
所以
故只
便得
应用
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自然常数e在科学上有广泛应用。以下举几例：
e对于自然数的特殊意义
素数定理
完全率
设完全图内的路径总数为W，哈密顿路总数为h，则
双曲函数
双曲函数是自然常数价值的重要体现。它可以解决很多问题。如：
1、阻力落体
解：
依标准变换方式，设
代入（1）式，再作化简，有
（3）式的通解是
其中，
这等价于
因此，容易定出
将（7）式代入（4）式，再将（4）式代入（2）式，就可得
可以作一下定性的分析。小石块初始时刻静止。因此，随着时间增加，开始时小石块速度较小，小石块所受的阻力影响较小，此时，小石块与不受阻力的自由落体运动情况相类似，小石块加速度几乎是常数。反映在图1中，起始段
2、粒子运动
式中
解：
式中v是粒子的速度，p是粒子的动量
本题运动方程的分量表示式为
解之，有
粒子的能量为
因
积分得
又由（7）式得
积分得
或 
在（10）式和（13）式中消去
（14）式可以写成
讨论：
当
