自同態環

在抽象代數中，由End（X）表示的阿貝爾羣體X的自同態環是X所有同態的集合，賦予由點加法定義的加法運算的函數和由函數組合定義的乘法運算。 通過這些運算，阿貝爾組的自同態環就形成了單位環，零映射作為加性成分，本體映射作為乘法成分。 ^[1] 

所涉及的功能僅限於在上下文中定義的同態的定義，這取決於所考慮的對象的類別。 自同態環因此就編碼了對象的幾個內部屬性。 由於所得到的對象通常是某個環R上的代數，所以這也可以稱為內生代數。

讓（A，+）成為一個阿貝爾組，我們認為從A到A的羣體是同態的。然後加上兩個這樣的同態可以被定義為產生另一個羣體同態。 顯然，給定兩個這樣的同態f和g，f和g的和是同態（f + g）（x）：= f（x）+ g（x）。 在這個操作結束（A）是一個阿貝爾組。 隨着同態組合的附加操作，End（A）是具有乘法身份的環。 這個組合是明確的（fg）（x）：= f（g（x））。 乘法身份是A上的身份同態。

如果集合A不形成阿貝爾組，則上述構造不一定是加性的，因此兩個同態的總和不一定是同態的。這是一個同態但不是一個環的典型例子。

（1）自同態環總是具有加性和乘法的身份，分別為零映射和本體映射。

（2）內相環是締合的，但通常是非交換性的。如果一個模塊很簡單，那麼它的同構環就是一個劃分環（這有時叫做Schur的引理）。當且僅當其同形環不包含任何不平凡的冪等元素時，模塊是不可分解的。

（3）對於一個半模塊，內同環是馮·諾依曼常規環。

（4）非零模塊的自同態環具有一個或兩個最大正確的理想。如果模塊是尼恩，諾特，則同態環具有獨特的最大理想，因此它是一個本地環。

（5）尼恩統一模塊的同構環是一個本地環。

（6）具有有限組成長度的模塊的同形環是半主環。

（7）如果R模塊有限生成和投影（即進程發生器），則模塊的同態環和R共享所有森田不變屬性。森田理論的一個根本結果是，與R相當的所有環都作為內同環產生。 ^[2] 

在R模塊的類別中，R模塊M的同構環將僅使用R模塊同態，這通常是阿貝爾羣同態的子集。 當M是有限生成的投影模塊時，內同環是森田對模塊類別的核心。

對於任何阿貝爾組A，

，因為

中的任何矩陣都攜帶自然同態結構

如下：

它和下式相等

人們可以使用這個同構構造很多非同態環。

此外，當

是一個字段時，有一個規範的同構

，所以

， 用n×n矩陣的環來識別K向量空間。更一般地，自由模塊

的內同構代數自然是

矩陣。

作為最後一點的一個具體例子，對於具有統一性的任何環R，End（R_R）= R，其中R的元素通過左乘法作用在R上。

一般來説，可以為任何預先添加類別的對象定義同形態環。 ^[3]