羣的生成集合

更一般的説，如果 S 是羣 G 的子集，則 S 所生成的子羣 <S> 是包含所有 S 的元素的 G 的最小子羣，這意味着它是包含 S 元素的所有子羣的交集；等價的説，<S> 是可以用 S 的元素和它們的逆元中的有限多個元素的乘積表達的 G 的所有元素的子羣。

如果 G = <S>，則我們稱 S 生成 G；S 中的元素叫做生成元或羣生成元。如果 S 是空集，則 <S> 是平凡羣 {e}，因為我們認為空乘積是單位元。

在 S 中只有一個單一元素 x 的時候，<S> 通常寫為 <x>。在這種情況下，<x> 是 x 的冪的循環子羣，我們稱這個循環羣是用 x 生成的。與聲稱一個元素 x 生成一個羣等價，還可以聲稱它有階 |G|，或者説 <x> 等於整個羣 G。

如果 S 是有限的，則羣 G = <S> 叫做有限生成羣。有限生成阿貝爾羣的結構特別容易描述。很多對有限生成羣成立的定理對一般的羣無效。

所有有限羣是有限生成羣因為 <G> = G。整數集在加法下的羣是由 <1> 和 <-1> 二者有限生成的無限羣的例子，但是有理數集在加法下的羣不能有限生成。不可數羣都不能有限生成。

同一個羣的不同子集都可以是生成子集；比如，如果 p 和 q 是 gcd(p, q) = 1 的整數，則 <{p, q}> 還生成整數集在加法下的羣(根據貝祖等式)。

儘管有限生成羣的所有商羣是有限生成羣為真(簡單的在商羣中選取生成元的像)，有限生成羣的子羣不必須是有限生成羣，例如，設 G 是有兩個生成元 x 和 y的自由羣，(它明顯是有限生成羣，因為 G = <{x,y}>)，並設 S 是由形如 yxy 的所有 G 的元素構成子集，這裏的 n 是自然數。因為 <S> 明顯同構於有可數個生成元的自由羣，它不能被有限生成。但是，所有有限生成阿貝爾羣的子羣完全是有限生成羣。更進一步: 所有有限生成羣的類在羣擴張下閉合。要看出這個結論，選取(有限生成)正規子羣和商羣的生成集合: 正規子羣的生成元和商羣的生成元的前像一起生成了這個羣。

由集合 S 生成的最一般的羣是 S 自由生成的羣。所有 S 生成的羣同構於這個羣的因子羣，這個特徵實用於一個羣的展示的表達中。