總體均值

總體均值又叫做總體的數學期望或簡稱期望，是描述隨機變量取值平均狀況的數字特徵 ^[1]  。

設離散型隨機變量

的分佈概率為

若級數

絕對收斂，則級數

的和稱為隨機變量

的數學期望。 ^[3]  記作

設連續型隨機變量

的分佈密度是

，若積分

絕對收斂，則稱該積分為總體

的均值，記作

。

總體均值具有以下基本性質：

①對任意常數c，均有

；

②

，其中c為任意常數；

③

，其中c為任意常數；

④

，其中

為任意常數；

⑤對於兩個隨機變量x和y，有

；

⑥若兩個隨機變量x和y相互獨立，則有

。

基本性質⑤、⑥可以推廣到有限個的情況，這就是：n個隨機變量和的均值等於均值的和；n個隨機變量若相互獨立，則乘積的均值等於均值的乘積。這時n為有限整數且大於2 ^[1]  。

參數估計就是以樣本統計量來估計總體參數，例如，用樣本平均數估計總體平均數，用樣本成數估計總體成數，等等。在參數估計中，用來估計總體參數

的樣本統計量

，稱為估計量。例如，樣本平均數、樣本成數、樣本方差等。用來估計總體參數時計算出來的估計量的具體數值

，稱為估計值。例如，要估計一個班級考試的平均分數，現從中抽取一個隨機樣本，經過計算得到樣本平均分數為80分，那麼這個80分就是估計值。

參數估計的方法有點估計和區間估計。

點估計就是直接以樣本統計量作為總體參數的估計量，又稱為定值估計。例如，以樣本平均數、樣本成數、樣本方差作為相應總體參數的估計量，即

若總體服從正態分佈，則樣本均值

；若總體不服從正態分佈，但當樣本容量n足夠大時，則

。進一步可得 ^[2]  ：

給定顯著性水平

，查標準正態分佈表可得到臨界值

，且滿足：

則在置信水平

下總體均值的區間估計為

反過來，設總體均值的抽樣允許誤差為

，即

，且區間估計

的置信水平為

，則有

臨界值

與置信水平

一一對應。給定一個置信水平

，可以通過查標準正態分佈表確定臨界值

。若置信水平提高，即區間估計的可靠程度增大，則

減小，即臨界值

增大。反之，若置信水平減小，則臨界值減小。臨界值

稱為概率度，用符號z表示，用以間接地衡量區間估計的概率大小。

易見，抽樣允許誤差

、抽樣平均誤差

和概率度z三者存在如下關係：

給定置信水平

，在重複抽樣條件下，總體均值的置信區間為

在不重複抽樣條件下，總體均值的置信區間為

若總體服從正態分佈但總體方差未知，則可用樣本標準差s代替總體標準差s構造統計量，即得

給定置信水平

，在重複抽樣條件下，總體均值的置信區間為

類似地，在不重複抽樣條件下，總體均值的置信區間為

查t分佈表可得到臨界值

。在大樣本情況下，t分佈近似於標準正態分佈。所以，此時也可以用標準正態分佈臨界值

代替

^[2]  。