-
總體剛度矩陣
鎖定
- 中文名
- 總體剛度矩陣
- 學 科
- 結構力學
- 用 途
- 分析受力
- 性 質
- 矩陣
總體剛度矩陣有限元法
矩陣位移法是有限元法的雛形，包含兩個基本環節：（1）單元分析；（2）整體分析。
有限元法的要點：先把結構整體拆開，分解成若干個單元，即離散化。然後，在將這些單元按照一定的條件集合成整體。在一分一合，先拆後搭的過程中，把複雜結構的計算問題轉化為簡單單元的分析和集合問題。
總體剛度矩陣座標系與編碼
選用局部座標系，都是以杆件的軸線作為x軸。但從整體分析時，在一個結構中，各個杆件的杆軸方向不盡相同，各個局部座標系也不盡相同，很不統一。為了便於整體分析，必須選用統一的公共座標系，稱為整體座標系。從局部座標系的單元剛度矩陣到整體座標系下的單元剛度矩陣是很關鍵的一步。
節點編碼：在整體分析中，節點位移在結構中要進行統一編碼，稱為總碼。在單元分析中，每個單元的兩個節點位移各自的編碼，稱為局部碼。
當得到了整體座標系下各單元的單元剛度矩陣時，就需要按照兩種編碼對各個單元剛度矩陣進行整合，以形成整體座標系下的整體剛度矩陣。
詳細內容見結構力學書。
總體剛度矩陣單元剛度矩陣
單元剛度矩陣奇異
如
a=[ 1 0 0 2/3 -1 -2/3 0 1/3 2/3 0 -2/3 -1/3 0 2/3 4/3 0 -4/3 -2/3 2/3 0 0 4 -2/3 -4 -1 -2/3 -4/3 -2/3 7/3 4/3 -2/3 -1/3 -2/3 -4 4/3 13/3 ]; inv(a) Warning: Matrix is singular to working precision. ans = Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf >> det(a) ans = 0
單元剛度矩陣一定是奇異的，這一點一般的有限元書上都有證明，給定某個位移為1，其它位移為0，代入F=KΔ，再由力的平衡關係，可推出矩陣(方陣)的該列元素的和為0，依次定義不同的非0位移，可得知其它列有同樣性質，因此方陣的行列式為0，由此可知該方陣是奇異的。一般k為稀疏帶狀矩陣。
應該説結構剛度矩陣在沒有引入邊界條件之前是奇異的，因為如果沒有引入邊界條件的話，對整個結構來説存在着剛體位移，也就是説ku=f這個方程存在着非零解，引入邊界條件的話就是約束結構的整體剛體位移，使得剛度矩陣從奇異轉化為非奇異。
由對稱性和奇異性的單元剛度矩陣組裝成的結構剛度矩陣也具有對稱性和奇異性。然而引入約束條件後，整體剛度矩陣則滿秩。如未引入約束條件的整體矩陣
>> b=[ 7/3 4/3 -4/3 -2/3 -1 -2/3 0 0 4/3 13/3 -2/3 -4 -2/3 -1/3 0 0 -4/3 -2/3 7/3 0 0 4/3 -1 -2/3 -2/3 -4 0 13/3 4/3 0 -2/3 -1/3 -1 -2/3 0 4/3 7/3 0 -4/3 -2/3 -2/3 -1/3 4/3 0 0 13/3 -2/3 -4 0 0 -1 -2/3 -4/3 -2/3 7/3 4/3 0 0 -2/3 -1/3 -2/3 -4 4/3 13/3 ]; >> det(b) ans = 2.4580e-044 >> inv(b) Warning: Matrix is close to singular or badly scaled. Results may be inaccurate. RCOND = 9.759739e-018. ans = 1.0e+015 * 0.7097 0.1673 1.3630 0.1673 0.7097 -1.1391 1.3630 -1.1391 0.4155 -0.9251 -0.1300 -0.9251 0.4155 0.1659 -0.1300 0.1659 1.7434 -0.4698 1.4422 -0.4698 1.7434 0.1325 1.4422 0.1325 0.4155 -0.9251 -0.1300 -0.9251 0.4155 0.1659 -0.1300 0.1659 0.7097 0.1673 1.3630 0.1673 0.7097 -1.1391 1.3630 -1.1391 -1.6517 0.3492 -0.2885 0.3492 -1.6517 -2.3773 -0.2885 -2.3773 1.7434 -0.4698 1.4422 -0.4698 1.7434 0.1325 1.4422 0.1325 -1.6517 0.3492 -0.2885 0.3492 -1.6517 -2.3773 -0.2885 -2.3773
對於有限元軟件的應用，大家經常會碰到一個十分頭痛的問題，軟件提示總體剛度矩陣出現小的主元和負元，也即總體剛度矩的出現奇異，出現奇異的原因多種多樣，可能的原因有：
在共享一個節點的所有單元中材料屬性如彈性模量為零；
一個或多個結構節點沒有連接到任何單元上；
結構式的一個或多個部分沒有與其它部分相接；
邊界條件沒有設定或不夠充分；
不適當的連接可能產生寄生模式；
在一個連接點設置了太多的分離；
有很大的剛度奇異；
部分結構發生屈服；
在非線性分析中，支撐或者連接已達到零剛度，以至於部分或所有結構不能被充分支撐。
