縱向放大率

縱向放大率描述理想光具組的縱向共軛性質，在數學形式上是物象曲線的斜率。在近軸條件下所有光學元件均屬理想光具組。 ^[1] 

按理想光具組理論，近軸共軛點的位置關係遵循牛頓公式

，即

。像距x′與物距x的關係可用圖1所示的x′(x )曲線-物像曲線表示。圖1中橫軸表示物空間，縱軸表示像空間 (縱軸正方向相當於像空間的從左向右方向)。不妨設

採用新笛卡兒符號法，並認為入射光線從左向右傳播。 ^[2] 

這是位於第Ⅱ，Ⅳ象限的兩支反比例曲線，反映出共軛點位置的“交叉共軛”關係：F左側物體成像於F′右側；F右側物體成像於F′左側，且物離 F越遠，像離F′就越近。

按理想光具組理論，當物點P沿垂直於主光軸方向移動無限小距離y時，像點P′也在垂直於主光軸方向上移動某距離y′，橫向放大率

，就表示像點P′相對於物點P移動的方向及距離，即表示共軛點P與P′的橫向共軛性質。類似地，若物點P平行於主光軸移動無限小距離dx，像點P′相應地移動dx′。可定義共軛點P與P′的縱向放大率

，它反映在平行於主光軸的方向上,像點P′相對於物點P移動的方向及距離，即表徵着共軛點P與 P′的縱向共軛性質。顯然，

就是物像曲線在P與P′處的斜率。在物、像移動的距離dx和dx′都很小的條件下，縱向放大率

是“點函數”，描述近軸共軛點P與P′的性質。

由牛頓公式推得

，把一些特殊的T值標在物像曲線相應位置上 (見圖1)，便可清晰地觀察到如下規律：

1) 無論 P位於何處，總有T≥ 0(2條物像曲經均為上升曲線)。這表明物點P沿縱向移動時，其像點P′必沿相同方向移動：P點趨近F，像P′則沿同方向遠離 F′。

2) 當|x|變小時，T變大。表明物點P趨近F，像P′沿同方向遠離F′時，像點P′相對於物點P移動的距離越來越大 .當

（

處）且

（

處），物、像移動的距離相等。

圖2中，P移動有限距離Δx，有

，即P始終在F的同一側移動到達P₁，則像P′移動Δx'到達P₁'，且

令

，T₀不僅與x有關，還與Δx有關，它不是“點函數” ，而反映端點為P ，P′，縱向長度為|Δx|和|Δx′|的一對共軛線段PP₁ 與 P′P₁′的關係，稱之為共軛線段的縱向放大率。由圖2知，當 Δx→0或

遠小於1時，T0→T，此時共軛線段的縱向放大率過渡到共軛點的縱向放大率。

由T₀的表達式及物像曲線的走勢，得出如下結論：

（1）恆有T₀≥ 0，與T≥0一樣，與物像曲線的上升性相聯繫；

（2）當Δx一定時，|x|越小，T₀就越大，這與T情況相似，但T₀= 1的位置未必是

（

處）且

（

處），而由 Δx 的值確定；

（3）當x一定時，T值就一定，但T₀卻隨Δx而變，且當x < 0時，Δx越大，T₀就越大；當x> 0時，Δx越大，T₀越小。

縱向共軛性質與實際應用密切相關。若把前述y看作橫向物 (垂直於主光軸的線段)的長度，則y′就是橫向像的長度，而橫向放大率

就表示橫向物成像的性質(放大或縮小，正立或倒立)。如果把Δx看作縱向物 (平行於主光軸的線段)的長度，則Δx′就是縱向像的長度，縱向放大率

就表示縱向物成像的性質。|T₀|> 1，表示放大，|T₀|< 1，表示縮小。T₀> 0表示“正向”，T₀< 0表示“倒向” 。

由T₀的規律，得縱向物成像的特點：

（1）像相對於物恆屬“正向”，即箭頭成像指向不變 (T₀> 0)；

（2）當某物靠近F時，其像從“縮小”逐漸過渡到“放大” ；

（3）端點P相同的縱向物，若長度不同，成像的性質就不同 (x 一定，T₀隨 Δx 而變 )；

（4）成像不能保持幾何相似性 (圖2中，M₀位於物PP₁的中點，但M₀′卻不位於像P′P₁′的中點，物、像不相似 )。 ^[3] 

景深，是指被攝物前後的一個縱深範圍。位於該範圍內的景物可在底片上形成可被辨認的像。對於焦距一定的相機，使光圈變小，可加大景深。當光圈一定時，景深還與T₀有關。

T₀越小，説明當P移動較大的距離|Δx，其像移動較小的距離|Δx′|，即P前後較大的範圍內景物都能在底片上形成可被辨認的像。也就是説，T₀越小，則景深越大。若Δx一定，|x|越大時，T₀越小，故景深越大。正因為如此 ，拍攝不太近的景物時，很遠的背景可以很清晰；拍攝近物時，稍遠的背景就變得模糊了。

在x處 (照相機總有x < f < 0)，Δx越小，T₀也越小。設景物退後 (遠離相機 )和向前 (趨近相機 )移動相同的距離|Δx|，對應的縱向放大率 T_後 前 ，物體背後的景深比前面的景深大，因而在拍攝景物時，較遠的背景可以很清晰，而稍前一點的景物就變得模糊。