線性近似

所謂線性近似，也叫線性逼近，主要作用是把一個複雜的非線性函數用一個簡單的線性函數來表示。

假設一般函數上存在點(a, f(a))，當x接近a時，可以使用函數在a點的切線作為函數的近似線。函數L(x)≈f(a)+f'(a)(x-a)即稱為函數f在a點的線性近似或切線近似 ^[1]  。

例如，有一個實數變量的可導函數f，根據n=1的泰勒公式，

其中

是餘數。捨去餘數就是線性近似：

當x無限接近於a的時候這個等式成立。

圖1的表示是f在點 (a,f(a)) 處的切線，因此這個過程也叫作切線近似。

我們也可以對以向量作為變量的向量函數作線性近似，這時在該點的導數用雅可比矩陣代替 ^[2]  。例如，一個有實數變量的可導函數

，可以用函數

在接近

的

點處的值來近似，

方程右側是

在點

處的平面切線。

在更具普遍意義的巴拿赫空間上，

其中

是函數

在

處的Fréchet 導數。

線性近似的方法在尋找函數近似值時有很大作用：

例1.求

的值。

1) 設函數

，問題化為求

的值，

2）可以得到

3）根據線性近似

4）結果 2.926 非常接近於實際值 2.924。

線性近似求解的是近似值，其幾何意義是在基點的切線近似於原函數的曲線 ^[3]  。

以f(x)=lnx為例，根據公式，在x₀=1，

，曲線和切線如圖2所示：

在x₀=1點附近，曲線近似於直線，x越接近x₀，二者的近似度越高。在討論近似時，只有指定基點才有意義。這很容易理解，x越遠離x₀，曲線和直線的差距越大；同時，當基點不同時，切線的斜率也不同。

x₀=0時，常用的線性近似值：

1）

；

2)

；

3)

；

4)

；

5)

。