線性代數

本書包括行列式與線性方程組、矩陣與線性方程組、矩陣的運算、向量與線性方程組、特徵值、特徵向量及矩陣的相似對角化、對稱矩陣與二次型以及Mathematica在線性代數中的應用等內容。

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第1章 行列式與線性方程組

1.1 基礎知識——線性方程組與行列式定義

1.1.1 二元線性方程組與二階行列式

1.1.2 三元線性方程組與三階行列式

1.1.3 n階行列式定義

1.2 軟件實現——Mathematica中行列式的計算

1.2.1 數據表的輸入方法

1.2.2 行列式的計算

1.3 價值體現——應用實例

1.3.1 行列式在n元線性方程組求解中的應用

1.3.2 行列式的幾何應用

1.4 解因析理——行列式的性質與計算

1.4.1 幾種特殊行列式的計算

1.4.2 行列式的性質

1.4.3 n階行列式的計算

1.5 拓展提高——行列式計算技巧

習題 1

第2章 矩陣與線性方程組

2.1 基礎知識——矩陣、矩陣的初等變換及線性方程組求解

2.1.1 矩陣的概念

2.1.2 幾種特殊矩陣

2.1.3 矩陣的初等變換與等價標準形

2.1.4 矩陣的秩

2.1.5 線性方程組解的判定

2.2 軟件實現——Mathematica中矩陣的形成與線性方程組求解

2.2.1 矩陣的輸入與輸出

2.2.2 幾個特殊矩陣的生成

2.2.3 矩陣的簡化

2.2.4 線性方程組的求解

2.3 價值體現——應用實例

2.4 解因析理——矩陣的秩與線性方程組求解

2.4.1 矩陣秩的性質

2.4.2 線性方程組求解過程分析

2.5 拓展提高——解題技巧解析

2.5.1 矩陣秩的求法

2.5.2 含有參數的線性方程組的解的討論

習題 2

第3章 矩陣的運算

3.1 基礎知識——矩陣的運算

3.1.1 矩陣的線性運算

3.1.2 矩陣的乘法

3.1.3 矩陣的轉置

3.1.4 矩陣的逆

3.1.5 矩陣的分塊

3.2 軟件實現——Mathematica中矩陣的運算

3.2.1 基本運算

3.2.2 方陣的運算

3.3 價值體現——矩陣運算應用實例

3.4 解因析理——矩陣運算性質及應用

3.4.1 矩陣運算的一般運算律

3.4.2 逆矩陣的性質和求法

3.4.3 初等矩陣及初等矩陣的作用

3.5 拓展提高——矩陣運算應用技巧分析

3.5.1 方陣的相關運算

3.5.2 逆矩陣的計算

3.5.3 矩陣方程求解

3.5.4 伴隨矩陣的相關計算

習題 3

第4章 向量與線性方程組

4.1 基礎知識——向量運算、向量空間及線性方程組求解

4.1.1 向量的運算

4.1.2 同維向量之間的關係

4.1.3 向量空間

4.1.4 規範正交基

4.1.5 線性方程組解的結構

4.2 軟件實現——Mathematica中向量運算及線性方程組的求解

4.2.1 向量運算

4.2.2 向量組線性相關性的判定

4.2.3 向量組的最大無關組與秩

4.2.4 向量組的正交規範化

4.2.5 線性方程組的通解

4.3 價值體現——應用實例

4.3.1 向量及向量組的應用實例

4.3.2 向量組的線性相關性的應用實例

4.3.3 向量組線性相關和線性無關的幾何意義

4.3.4 向量組的最大無關組的應用實例

4.3.5 線性方程組的應用實例

4.4 解因析理——向量組的線性相關性

4.4.1 向量組線性相關與線性無關的判定及性質

4.4.2 矩陣的秩與向量組的秩

4.4.3 線性方程組的求解

4.5 拓展提高——向量組的線性關係綜合題解析

4.5.1 向量組的秩與向量組間線性表示的關係

4.5.2 抽象線性方程組的求解

4.5.3 已知方程組的解，反求係數矩陣或係數矩陣中的參數

習題 4

第5章 特徵值、特徵向量及矩陣的相似對角化

5.1 基礎知識——方陣的特徵值、特徵向量與對角化問題

5.1.1 特徵值與特徵向量的概念

5.1.2 矩陣的相似對角化

5.2 軟件實現——Mathematica中特徵值、特徵向量的計算

5.3 價值體現——特徵值、特徵向量應用實例

5.4 解因析理——特徵值、特徵向量及相似矩陣的性質

5.4.1 特徵值、特徵向量的計算

5.4.2 特徵值、特徵向量的性質

5.4.3 相似矩陣的性質

5.4.4 方陣相似對角化的判定

5.5 拓展提高——典型題解析

5.5.1 特徵值、特徵向量的逆問題的求解

5.5.2 矩陣相似的判定及其逆問題

5.5.3 相似矩陣的應用

習題 5

第6章 對稱矩陣與二次型

6.1 基礎知識——二次型及其標準形

6.1.1 二次型的概念

6.1.2 二次型的變量代換

6.1.3 化二次型為標準形

6.2 軟件實現——Mathematica中二次型的化簡

6.3 價值體現——二次型的應用

6.3.1 二次型與條件優化

6.3.2 二次型與二次曲線或二次曲面

6.4 解因析理——實對稱矩陣的性質與二次型的化簡

6.4.1 實對稱矩陣的性質

6.4.2 用正交變換法化二次型為標準形

6.4.3 用配方法化二次型為標準形

6.5 拓展提高——正定二次型及應用

6.5.1 二次型的分類

6.5.2 二次型正定性的判別

6.5.3 二次型典型題解析

習題 6

第7章 Mathematica在線性代數中的應用

7.1 Mathematica使用入門

7.1.1 Mathematica的啓動與運行

7.1.2 表達式的輸入

7.1.3 特殊符號和表達式的輸入

7.1.4 函數庫的應用

7.1.5 聯機幫助系統的使用

7.2 Mathematica的基本運算

7.2.1 常用的符號

7.2.2 常數

7.2.3 變量

7.2.4 函數

7.2.5 表

7.2.6 表達式

7.3 線性代數中的常用語句

7.3.1 行列式與矩陣

7.3.2 矩陣的秩與向量組的最大無關組

7.3.3 線性方程組

7.3.4 矩陣的特徵值與特徵向量

7.4 應用案例

參考文獻

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