線性代數

本書共分五章，包括線性方程組與矩陣、方陣的行列式、向量空間與線性方程組解的結構、相似矩陣及二次型、線性空間與線性變換．每小節配有習題，每章末配有拓展閲讀和測試題，拓展閲讀用於講解線性代數發展的相關知識；測試題難度高於習題難度，用於學生加強練習，部分習題和測試題答案放於本書**後章節．另外，為了更加清楚地講解每章的重點、難點以及典型例題，本書還配有微課視頻． ^[1] 

本書根據工科類本科“線性代數”課程教學基本要求，參考同濟大學“線性代數”課程及教材建設的經驗和成果，按照碩士研究生考研大綱的要求編寫而成．編者在內容編排、概念敍述、定理證明等諸多方面都做了精心安排，以使全書結構流暢，主次分明，通俗易懂．

第 一章　線性方程組與矩陣　1

第 一節　矩陣的概念及運算　1

一、矩陣的定義　1

二、矩陣的線性運算　3

三、矩陣的乘法　4

四、矩陣的轉置　6

習題1-1　7

第 二節　分塊矩陣　8

一、分塊矩陣的概念　8

二、分塊矩陣的運算　10

習題1-2　13

第三節　線性方程組與矩陣的初等變換　14

一、矩陣的初等變換　14

二、求解線性方程組　18

習題1-3　22

第四節　初等矩陣與矩陣的逆矩陣　23

一、方陣的逆矩陣　24

二、初等矩陣　25

三、初等矩陣與逆矩陣的應用　26

習題1-4　29

本章小結　31

拓展閲讀　32

測試題一　33

第 二章　方陣的行列式　35

第 一節　行列式的定義　35

一、排列　35

二、ｎ　階行列式　37

三、幾類特殊的ｎ　階行列式的值　39

習題2-1　41

第 二節　行列式的性質　41

一、行列式的性質　41

二、行列式的計算舉例　45

三、方陣可逆的充要條件　48

習題2-2　50

第三節　行列式按行(列)展開　51

一、餘子式與代數餘子式　52

二、行列式按行(列)展開　52

習題2-3　57

第四節　矩陣求逆公式與克萊默法則　58

一、伴隨矩陣與矩陣的求逆公式　58

二、克萊默法則　59

習題2-4　62

本章小結　63

拓展閲讀　64

測試題二　65

第三章　向量空間與線性方程組解的結構　67

第 一節　向量組及其線性組合　67

一、向量的概念及運算　67

二、向量組及其線性組合　69

三、向量組的等價　71

習題3-1　74

第 二節　向量組的線性相關性　74

一、向量組的線性相關與線性無關　75

二、向量組線性相關性的一些重要結論　77

習題3-2　80

第三節　向量組的秩與矩陣的秩　81

一、向量組秩的概念　81

二、矩陣秩的概念　82

三、矩陣秩的求法　83

四、向量組的秩與矩陣的秩的關係　85

習題3-3　87

第四節　線性方程組解的結構　88

一、線性方程組有解的判定定理　88

二、齊次線性方程組解的結構　90

三、非齊次線性方程組解的結構　94

習題3-4　96

第五節　向量空間　97

一、向量空間及其子空間　97

二、向量空間的基、維數與座標　99

三、基變換與座標變換　101

習題3-5　103

本章小結　105

拓展閲讀　106

測試題三　107

第四章　相似矩陣及二次型　109

第 一節　向量的內積、長度及正交性　109

一、向量的內積、長度　109

二、正交向量組　110

三、施密特正交化過程　112

四、正交矩陣　113

習題4-1　115

第 二節　方陣的特徵值與特徵向量　115

一、方陣的特徵值與特徵向量的概念及其求法　116

二、方陣的特徵值與特徵向量的性質　119

習題4-2　121

第三節　相似矩陣　122

一、方陣相似的定義和性質　122

二、方陣的相似對角化　123

習題4-3　124

第四節　實對稱矩陣的相似對角化　125

一、實對稱矩陣的特徵值和特徵向量的性質　125

二、實對稱矩陣的相似對角化　126

習題4-4　129

第五節　二次型及其標準形　129

一、二次型及其標準形的定義　130

二、用正交變換化二次型為標準形　131

三、用配方法化二次型為標準形　134

習題4-5　135

第六節　正定二次型與正定矩陣　136

一、慣性定理　136

二、正定二次型與正定陣　137

習題4-6　138

本章小結　139

拓展閲讀　140

測試題四　141

第五章　線性空間與線性變換　143

第 一節　線性空間的定義與性質　143

一、線性空間的定義　143

二、線性空間的性質　145

三、線性空間的子空間　146

習題5-1　147

第 二節　維數、基與座標　147

一、線性空間的基、維數與座標　147

二、基變換與座標變換　149

習題5-2　150

第三節　線性變換　151

一、線性變換的定義　151

二、線性變換的性質　153

三、線性變換的矩陣表示式　154

習題5-3　158

本章小結　161

拓展閲讀　162

測試題五　163

部分習題答案　165

同濟大學數學系始建於1945年，程其襄、楊武之、朱言鈞、樊映川、張國隆、陸振邦等知名學者曾在此任教，並留下了《高等數學》等有全國影響的教材。