線性代數

本書是普通高等學校本科非數學各專業基礎課“線性代數”的教材,也可作為報考碩士研究生的備考參考書.內容包括：線性空間、線性變換與矩陣、行列式及其應用、線性方程組、特徵值和特徵向量、二次型.全書內容以線性空間和線性變換為基礎展開,從而使各章內容之間內在聯繫緊密,給教學帶來方便.本書為後續課程提供必要的線性代數知識,同時,注重培養學生以數學的方式思維,以提高其綜合素質.各章均配有習題,書末附有習題答案.

當今大學的各個專業，少有不開設數學課的， 即使一些傳統的人文學科，也把開設數學課作為教學改革的內容之一.線性代數就是普通高等學校非數學各專業開設的一門數學基礎課.這門課程有兩項基本任務: 一是為後續課程提供必需的數學工具；二是培養學生以數學的方式思維,以提高其綜合素質.為完成這兩項基本任務提供一本合適的教材,同時又能使它適合不同教學時數線性代數課程的教學需要，就是本書的編撰宗旨.

線性代數主要研究代數系統的結構和不同代數系統之間的聯繫.因此,本書以線性空間和線性變換為基礎展開全部內容.第1章,介紹線性空間和歐氏空間,並引入映射和同構概念；第2章,研究線性變換及其矩陣表示,從而引出矩陣理論；第3章,以n階方陣為基礎,用公理體系定義n階行列式,討論行列式的性質、計算方法及展開公式,並以行列式為工具將矩陣理論深化，重點是方陣的逆矩陣和矩陣的秩；第4章,利用矩陣研究線性方程組解的存在惟一性,解的結構和求法；第5章,介紹線性變換及其矩陣的特徵值和特徵向量理論；第6章,以線性變換和實對稱方陣為基礎討論二次型,中心議題是應用廣泛的化二次型為標準形的方法，介紹了正交變換法、配方法和初等變換法，對正定二次型和正定矩陣也作了較深入的探討.本書包含了線性代數課程的基本內容，在結構上與國內常見的同類教材相比有一定特色,是我們多年教學積累的總結.

本書是為普通高等學校本科非數學各專業編寫的線性代數課程的教材，也可作為報考碩士研究生的備考參考書.課時若為72學時，可以講授全書內容；課時若為54學時,可不講帶星號的內容.為了方便教學,各章均配有習題,書末附有習題答案.

本書前3章由金朝嵩教授、段正敏副教授編寫,第4章由段正敏、王漢明編寫,第5,6兩章由金朝嵩、王漢明編寫，全書由金朝嵩統稿.在本書的編寫過程中,參考了一些中外同類教材,在此特向這些教材的作者表示衷心感謝.碩士研究生李玉立負責本書原稿的電子文檔編輯，他對工作認真負責，耐心細緻，在此表示誠摯的謝意.

編著教材,茲事體大，筆者立論務求嚴謹,行文再三推敲,不敢草率行事.雖然如此,限於學術水平及眼界,疏漏在所難免,切望方家及讀者不吝賜教.

前言Ⅰ

第1章線性空間1

1.1線性空間的定義1

1.2線性空間中的相關集和獨立集7

1.3基、維數與座標11

1.4內積、歐氏空間、範數14

1.5歐氏空間中的正交性17

1.6同構21

1.7Rn空間的一些性質23

習題25

第2章線性變換與矩陣30

2.1線性變換及其性質30

2.2逆變換38

2.3線性變換的矩陣表示41

2.4矩陣線性空間50

2.5矩陣乘法51

2.6矩陣的轉置及分塊58

2.7方陣的逆矩陣、矩陣的初等變換和初等方陣65

*2.8線性空間中的基變換與座標變換74

*2.9矩陣理論應用舉例79

習題82

第3章行列式及其應用93

3.1n階行列式的定義及性質94

3.2行列式的計算96

3.3行列式的展開公式104

3.4伴隨矩陣及方陣的逆矩陣114

3.5矩陣的秩117

3.6克拉默法則125

3.7矩陣的秩的深入討論128

習題136

第4章線性方程組142

4.1消元法143

4.2線性方程組解的存在性和惟一性判別定理153

4.3線性方程組解的結構157

習題169

第5章特徵值和特徵向量174

5.1方陣的特徵值和特徵向量176

5.2特徵值和特徵向量的性質179

5.3相似矩陣和矩陣的對角化182

5.4實對稱矩陣的對角化186

*5.5若爾當標準形簡介192

習題196

第6章二次型199

6.1二次型及其矩陣表示199

6.2化二次型為標準形202

6.3慣性定理210

6.4正定二次型與正定矩陣213

習題217

習題答案220

參考文獻238

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