緊基數

強緊基數是一類很“大”的大基數，若對於任何無窮基數λ，語言L_κκ都是(λ，κ)緊的，且

，則稱基數κ是強緊基數，語言L_ωω是(λ，ω)緊的，這兒λ是任意無窮基數，因而，強緊基數也是對無窮基數ω的某些性質進行推廣而得到的，開斯勒(H.J.Keisler)和波蘭學者塔爾斯基(A.Tarski)於1964年引入強緊基數的概念。

強緊基數必是可測基數，因而也必是弱緊基數，福平卡-赫巴契克於1966年證明了：若存在強緊基數，則對任何集合X，V≠L[X]，這裏V是全集，L[X]是相對於X的可構造集，或説是從X出發的可構造集，以色列學者索洛韋(R.M.Solovay)於1974年用力迫法證明了：若κ是強緊基數，對於每個>κ的奇異強極限基數λ，有2^λ=λ⁺，亦即對於一些很特殊的、很大的基數，證明了廣義連續統假設是成立的 ^[2]  。

設κ，λ為基數，

，令

設U是P_κ(λ)上的濾子，若對每一個

，則稱U是精細的(Fine)。

定義1 設κ為正則不可數基數，

為任意基數，稱κ為λ-強緊的充要條件為在P_κλ上存在非主的、精細的、κ-完全的超濾(或P_κλ上存在精細的測度) ^[3]  。

κ稱為強緊的充要條件為對所有

，κ是λ-強緊的。

定義2 設κ為正則不可數基數，

為任意基數，

(或

)為無窮語言，若對任意語句集Φ，|Φ|=λ，當

時，Φ’都有模型，則Φ有模型，那麼稱

有(κ，λ)強緊性定理，稱

是強緊的，若對所有

，

有(κ，λ)-強緊性定理。

下列定理説明強緊來源於無窮語言的(κ，λ)一強緊性定理。

下面定理的證明請參考相應書籍 ^[3]  。

定理3 設κ是正則基數，則下列命題等價：

[1]對任意S，S上每一個κ-完全超子可擴充成S上的超濾；

[2]對任何

上存在精細的測度；

[3]無窮語言

滿足強緊性定理。

定理4 若κ≤λ，則下列命題等價：

[1]κ是λ-強緊的．

[2]存在初等嵌入

，以κ為臨界點，使得當

時，有

，滿足

，

[3]若F是集合S上的任一κ-完全的濾子，它由基數≤λ的集所生成，則F可擴充的S上的κ-完全超濾 ^[3]  。

推論5 強緊基數是可測基數。

定理6 (沃列克-赫貝西(Vopenka-Hrbacek)若存在強緊基數，則對任何

。

定理7 若λ為正則基數，

，κ是λ-強緊基數，則

。

定理8 若存在強緊基數，則在該基數以上的奇異基數，其奇異基數假定都成立(即若κ為強緊基數，λ>κ為奇異基數，則當

時有

)。

推論9 若κ是強緊基數，

為奇異強極限基數，則2^λ=λ⁺。

下面給出可測基數與強緊基數之間關係的一個性質．

定理10(梅勞斯(Menas))若κ是可測基數，並且它是強緊基數的極限，則κ是強緊基數 ^[3]  。

定義11 設κ為正則基數，

，函數t，使得

，則稱t為生長在P_κλ的元素P上的二元函數。

設M是滿足下列性質的函數族：

[1]若

，則t生長在P_κλ元素上，

[2]若

，則

，

[3]

(t生長在P上)，

則稱M為二元(κ，λ)-網(Mess)(簡稱網)。

如果存在函數

，使得對每一個

↑

，則稱f為M的解(Solution)，這時M也稱為可解的。

定理12 設κ是不可及基數，

，

，則κ是λ-強緊的充要條件為每一個二元(κ，λ)-網可解 ^[3]  。