網格生成器

在連續的物理系統中，如在飛機周圍的氣流，水壩上水對水壩的集中壓力，集成電路中電子的電場，或是在化學反應中的反應物的濃度等，都是需要應用偏微分方程來模擬的。想要在計算機上模擬這些系統，這些連續的方程需要首先離散化，結果產生一組由有限個離散點組成的空間或平面包括對應的時間序列，在這些點上，我們才可以分別對所要研究的變量，如電壓，密度，和電場等進行計算。離散化的通常方法有有限差分，有限體積和有限元方法，這些方法通過相鄰的點來計算出變量的導數。這些計算需要基於一定的網格來實現，所以網格的概念也就隨之產生。

隨着網格應用的不斷廣泛和深入，人們就自然而然產生了一種動機，要去實現和改進自動化網格生成算法。在起初的時候，應用有限元方法的人們用幾十或是幾百個網格單元來模擬一個很大的簡化了的規則區域，他們己經感到很滿意了。要把一塊區域人工的劃分成一系列有用的網格單元，這樣的預處理工作非常的艱辛。而人們只需要點一下按鈕，就可以通過軟件來輕鬆的自動生成複雜的網格，這些網格包含了成千上萬的網格單元，而不需要任何繁瑣的預處理工作。 ^[1] 

根據網格的連接關係來區分，主要有兩大類結構化網格和非結構化網格。

結構化網格主要是指對每一個網格節點，其對鄰接的其他節點的連接數是一定的或有規則的對一些網格，可能會有一線部分節點與其他節點的連接數是不同的。

非結構化網格是指的每一個網格節電與其他節點的連接關係是不確定的或不規則的。

圖一給出了一個着兩種不同形式的網格的一個簡單例子。在有些情況下，整個網格的一部分可以是結構化的，而另一部分又是非結構化的譬如在河道流域中，邊界上的網格是結構化的而流域內部是非結構化的。 ^[1] 

所謂結構化網格是指，它的網格所有節點的連接關係是規則的。例如，網格中的所有網格點能夠通過索引方便的查找和確定(在二維中通過兩個索引確定，三維中則是三個索引)。每個網格點的鄰接點能夠方便的同過索引計算出來，而不是去一一查找（例如，網格點

的鄰接點就是

等等）。在規則的矩形區域上的網格生成雖然簡單，但其價值不大，規則的網格生成技術主要專注於對不規則的邊界區域進行網格化，例如，血管中血的流向，或者血管得變形，金屬中熱量的傳導等等。通常網格的生成必須符合它的邊界，用某一面座標來形成（部分）網格邊界。這種方法在邊界處可以提供精確的結果，速度也很快。對於流體研究中，這種網格可以作為波動模型的很好應用，因為流體研究中往往需要網格要和區域的邊界很好的吻合起來。另外一種選擇便是應用一個簡單的矩形網格作為基礎，在區域的邊界處通過網格裁剪，使其符合邊界的要求，然後對那些邊界上不夠理想的網格再用局部的修飾，從而得到我們的最終結果（笛卡爾網格）。這種方法在區域的邊界處打斷了網格的順序，還要刪除一些網格單元，這些都增加了網格生成算法的複雜度。迪卡爾網格的生成速度是很快的，在空氣動力學中應用較多,但似乎不適用於 Navier-Stokes空氣動力學。

生成區域邊界固定網格的最常用方法是需要產生一個連續的，並在邊界上完全符合的網格。也就是要找到一種方法，把一組連續毗鄰的矩形可計算區域通過曲線邊界映射到一個實際的物理區域如圖一。

如果希望不添加任何額外不規則的偏斜網格，又能用一個映射關係把一個規則的矩形可計算網格映射到一個複雜的區域上，這幾乎是非常困難的。為了要繞開這個問題，要把區域分成羅幹個子區域，對每個區域再進行網格劃分。在子區域與子區域的結合處，網格的連接必須要連續的。這就是多分塊網格的主要思想。對於區域的分解，一般都通過工具手工完成，雖然這比較慢。

另外一種用多化分塊思想來生成連續的邊界擬合網格的方法是，在邊界區域上，我們用固定邊界的網格生成法，在區域的內部用規則的矩形網格，在兩種網格較叉的區域，我們通過插值方法來使網格點相匹配。這樣生成的網格叫Chimera網格。

Chimera網格對於移動的邊界（例如，在直升機機翼葉片中）或多條邊界混合（流動中的粒子）非常有用。因為這樣網格的絕大部分網格單元始終都是固定的，而只有邊界上通過插值的網格單元是隨着邊界的變化而變化的。Chimera網格卻是有其獨特的優點，最近守恆插值方法的發展又增加了它的有甩性。但是，一大批的結構化網格生成方法都是基於區域分塊化思想，故下面主要是討論這一思想方法的應用。

1973年Gardon 和 Hall在多變量概念的基礎上提出了生成網格的無限插值理論，缺點是不易控制物面附近的網格趨勢。 1981年Eriksson 與 Rizzi提出改進的無限插值理論思想，即在文獻[2]的基礎上引進物面笛卡兒座標變量關於物面逸出變量的導數，利用這些導數來控制物面附近的網格變換。

用這種理論構造網格時，需要：

1）定義邊界上的網格分佈

2）在物面上 構造上述導數

3）構造插值時需用的型函數

其中，2）是困難且關鍵的步驟。

PDE方法可分為橢圓型 、拋物型及雙曲型 3 種。

70 年代初，自 Thompson等人首先提出了求解偏微分方程生成貼體網格方法，並首次應用於二維物體繞流的數值計算以來，該方法已成為生成複雜幾何外形貼體網格的主要技術。通過數值求解橢圓型方程生成曲線座標系，由於橢圓型方程固有的可以光順邊界數據的特性，即抑制所求邊界當地的不連續性向場內部的傳遞，從而使其成為一種非常有效的數值網格生成方法。採用求解橢圓型方程組技術，進 一步調整內部及邊界網格的疏密分佈和正交性，以滿足黏流數值模擬和插值精度的需要。 ^[2]