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統計決策函數
鎖定
統計決策函數(statistical decision function)亦稱判決函數，是統計決策理論的基本概念之一。統計推斷的任務就是建立一個定義於樣本空間X上，取值於決策空間D內的函數δ(x)，使當有了樣本X時，就採用判決δ(x)，這種函數稱為非隨機化的統計決策函數。若對每個樣本X，有決策空間(D，BD)上的概率測度δ*(x)與之對應，則稱δ*(x)為隨機化的決策函數。通常，決策函數是指非隨機化的決策函數
[1]
。
- 中文名
- 統計決策函數
- 外文名
- statistical decision function
- 別 名
- 判決函數，決策函數
- 所屬學科
- 數學（統計學）
- 相關概念
- 樣本空間，統計決策問題等
目錄
- 1 基本介紹
- 2 統計決策函數的風險函數
- 3 等價決策函數
- 4 一致最小風險決策函數
統計決策函數基本介紹
給定了一個統計決策問題，即給定了一個參數統計模型(樣本空間及樣本的分佈族)、決策空間與損失函數
，自然希望對樣本空間中的每一個點
指明一個決策
，這樣一個規則是定義在樣本空間上，取值在決策空間上的一個函數，稱這個函數為(統計)決策函數，記作
。在不致引起誤解的情形下，也稱
為決策函數，它表示在得到樣本觀測值
時，採取決策
。易見，
本質上是一個統計量。 決策函數
是所給定的統計決策問題的一個解
[2]
。
例1 總體
是總體X的一個樣本，
為未知參數，參數
為已知。參數空間為
。在點估計中，用樣本均值
作為
的估計量，所以，關於
的每一個取值都代表一個對參數
的決策，統計決策空間為
。在區間估計中，若採用置信區間
，則區間
代表一個對參數
的決策，統計決策空間為
在次例的點估計中，統計決策函數為
統計決策函數統計決策函數的風險函數
給定一個決策函數
之後，所採取的決策
依賴於樣本觀察值
，對應的損失函數
也依賴於樣本觀察值
。觀察值不同，所採取的決策
不同，對應的損失函數
也不同。因此，不能依賴樣本的一次觀察值
所採取的某個決策而帶來的損失
來衡量決策的優劣，而要從總體上來評價。一個常用的數量指標是平均損失，稱
決策函數
的風險函數
表示當參數值為
時，採取決策d所產生的平均損失。風險越小，損失越小，決策函數就越好。當決策函數
給定時，風險函數
是
的函數。比較兩個決策函數
和
的優劣，可通過比較其風險函數
。
統計決策函數等價決策函數
設
和
是統計決策問題中的兩個決策函數，對任意
，如果其風險函數滿足不等式
統計決策函數一致最小風險決策函數
設
是一切定義在樣本空間
上取值於決策空間
上的決策函數的全體，如果存在一個決策函數
，使對任意
和對任意
，都有
