絕對誤差

給定一個實數

，它的近似值為

，

反映了近似值和精確值差異的大小，稱

為

取近似值

時的絕對誤差，簡稱誤差 ^{[2]  [6]  [7]}  。

由於精確值

無法知道，因此近似數

的絕對誤差也無法得到，通常給出

絕對值的一個上限，即如果存在一個正數

，使得

，那麼稱

為

的絕對誤差限（或誤差限） ^{[2]  [6]  [7]}  ，此時有

，通常實數

可記為

^[2]  。

絕對誤差限不是唯一的，但越小越好，同時，絕對誤差限的大小並不能完全表示近似值的好壞，也就是説，絕對誤差不能精確刻畫一個近似值的精確程度。例如，測量一段路程，其長度為1000km，誤差為20m；另外，測量一條400m的跑道，也有20m的誤差。雖然兩次測量誤差相同，但顯然後者的精確度差多了 ^[5]  。

絕對誤差是有正負，有方向的 ^[5]  。

誤差按表示形式分為絕對誤差和相對誤差 ^[4]  。

（1）絕對誤差：指某測量值的測得值和真值之間的差值。通常簡稱為誤差。其表達式為：絕對誤差=測得值-真值（真值常用約定真值來表示） ^[4]  。

（2）相對誤差：指絕對誤差與被測量真值之比。其表達式為：相對誤差=絕對誤差/真值×100% ^[4]  。

絕對誤差和相對誤差的區別主要在於：絕對誤差是一個具有確定的大小、符號及單位的量。給出了被測量的量綱，其單位與測得值相同。而相對誤差只有有大小和符號，無量綱，一般用百分數來表示 ^[4]  。

人們在進行各種實驗時，所獲得的實驗結果往往以相應數據的形式反映出來。例如，天文觀測、大地測量、標準量值的傳遞、機械零件加工、儀器的裝調、實彈射擊、導彈發射等，這些實驗結果給出相應的實驗數據 ^[8]  。

實驗給出的某個量值的實驗數據總不會與該量值的理論期望值完全相同，因此稱實驗或實驗數據存在誤差，即：實驗誤差=實驗數據-期望值 ^[8]  。

例如，按某一尺寸加工零件時，該尺寸的設計值是加工尺寸的期望值，加工完成以後所獲得的零件尺寸與這一期望值之差，就是加工誤差：按某一要求調整儀器的工作狀態時，規定的工作狀態參數（如電流、電壓、温度等）是調整的期望值，調整後的工作狀態參數與期望的工作狀態參數之差就是儀器的調整誤差，打靶射擊時，靶心是期望的彈着點位置，實際彈着點偏離靶心的一段距離就是射擊誤差 ^[8]  。

在精密測試工作中，對某個量進行測量，該量的客觀真值（客觀上的實際值）是測量的期望值，測量所得數據與其差值即為測量誤差。因此，更具體地説，測量誤差定義為被測量的測得值與其相應的真值之差，即：測量誤差=測得值-真值 ^[8]  。

對於測量儀器：示值誤差=儀器示值-真值 ^[8]  。

應當注意，這裏的“真值”是指被測量的客觀真實值。一般來説，這一客觀真值是未知的，僅在一些特殊的場合真值才是已知的，例如某些理論分析值。國際計量大會規定的最高基準量也可看作是真值，這是約定真值。有時可通過某種手段獲得這一真值的近似值，當這一近似值與真值的差值在實際問題中可以忽略不計時，就可以用這一近似值代替真值，從而計算出測量誤差。此時，稱這一近似值為相對真值 ^[8]  。

此外，應注意測量誤差的正負符號，弄錯符號就會給出錯誤的結果 ^[8]  。

上述定義是誤差的基本表達形式，為區別於相對誤差，上述定義的誤差也稱絕對誤差。絕對誤差給出的是測量結果的實際誤差值，其量綱與被測量的量綱相同。在對測量結果進行修正時要依據絕對誤差的數值。在對誤差特徵規律的研究、不確定度的合成及般測量問題的數據處理中，通常也使用絕對誤差這一概念 ^[8]  。