索菲熱爾曼質數

對於質數p來説，若2p + 1亦為質數，那麼質數p為索菲熱爾曼質數。索菲·熱爾曼證明了費馬最後定理對於這類質數為真。且若x,y,z均為整數，在xp + yp = zp這式子內，必有一項能被p整除。

是否存在無限個索菲熱爾曼質數仍屬猜想。

從1到10000共有190個索菲熱爾曼質數（OEIS:A005384）：

2 3 5 11 23 29 41 53 83 89 113 131

173 179 191 233 239 251 281 293 359 419 431 443

491 509 593 641 653 659 683 719 743 761 809 911

953 1013 1019 1031 1049 1103 1223 1229 1289 1409 1439 1451

1481 1499 1511 1559 1583 1601 1733 1811 1889 1901 1931 1973

2003 2039 2063 2069 2129 2141 2273 2339 2351 2393 2399 2459

2543 2549 2693 2699 2741 2753 2819 2903 2939 2963 2969 3023

3299 3329 3359 3389 3413 3449 3491 3539 3593 3623 3761 3779

3803 3821 3851 3863 3911 4019 4073 4211 4271 4349 4373 4391

4409 4481 4733 4793 4871 4919 4943 5003 5039 5051 5081 5171

5231 5279 5303 5333 5399 5441 5501 5639 5711 5741 5849 5903

6053 6101 6113 6131 6173 6263 6269 6323 6329 6449 6491 6521

6551 6563 6581 6761 6899 6983 7043 7079 7103 7121 7151 7193

7211 7349 7433 7541 7643 7649 7691 7823 7841 7883 7901 8069

8093 8111 8243 8273 8513 8663 8693 8741 8951 8969 9029 9059

9221 9293 9371 9419 9473 9479 9539 9629 9689 9791

截止2005年1月，最大的幾個索菲熱爾曼質數為：

數 年份 發現者

2005年1月8日 P. 米諾維奇 2003年 昂德巴克 1998年 霍夫曼 2001年 昂德巴克

索菲熱爾曼質數永遠不會以7為個位數。證明：

反證法：假設存在個位數為7的質數p，將它表達成p=10k+7。根據索菲熱爾曼質數的性質，2p + 1亦是質數，但2p + 1 = 2(10k +7) + 1 = 20k + 15 = 5(4k + 3)，2p + 1能被5整除，是合成數，矛盾。□

若p＞ 3，且p為索菲熱爾曼質數，2p+1是梅森數Mp的因子。

1922年，哈代和Littlewood發表以下計算索菲熱爾曼質數頻率的公式：

，C是孿生質數常數。

數列{p, 2p + 1, 2(2p + 1) + 1, ...}的索非熱爾曼質數稱為第一類坎寧安鏈。除了首尾之外，這個數列中的項均同時為索非熱爾曼質數和安全質數。