素性測試

上下素性判定法

首先，本文英文字母都表示整數，上半部B 》3N 》W，下半部B 》W 》3N。大於3的素數只有6N-1和6N+1兩種形式，我們只需判定這兩種數是素數還是合數即可。

命題 1 對於B=36N+1 形數而言。

若不定方程（3N）^2+N-（B-1）/36=W^2 有整數解，

則 6（3N-W）+1 是小因子數；6（3N+W）+1 是大因子數。

若不定方程 （3N）^2-N-（B-1）/36=W^2 有整數解，

則 6（3N-W）-1 是小因子數；6（3N+W）-1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 2對於B=36N+7 形數而言。

若不定方 （3N）^2+4N-（B-7）/36=W^2+W 有整數解，

則 6（3N-W）+1 是小因子數，6（3N+W+1）+1 是大因子數。

若不定方程 （3N+2）^2+2N+2-（B+29）/36=W^2+W 有整數解，

則 6（3N+2-W）-1 是小因子數，6（3N+W+3）-1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 3對於B=36N+13 形數而言。

若不定方程 （3N+1）^2+N-（B-13）/36=W^2 有整數解，

則 6（3N+1-W）+1 是小因子數，6（3N+1+W）+1是大因子數。

若不定方程 （3N+2）^2-N-（B+23）/36=W2 有整數解，

則 6（3N+2-W）-1 是小因子數，6（3N+2+W）-1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 4 對於B=36N+19 形數而言。

若不定方程（3N+1）^2+4N+1-（B-19）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（3N+1-W）+1 是小因子數；6（3N+2+W）+1 是大因子數。

若不定方程 （3N+1）^2+2N+1-（B+17）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（3N+1-W）-1 是小因子數；6（3N+2+W）-1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 5 對於B=36N+25 形數而言。

若不定方 （3N+2）^2+N-（B-25）/36=W^2有整數解，

則 6（3N+2-W）+1 是小因子數，6（3N+2+W）+1 是大因子數。

若不定方程 （3N+1）^2-N-（B+11）/36=W^2有整數解，

則 6（3N+1-W）-1 是小因子數，6（3N+1+W）-1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 6 對於B=36N+31 形數而言。

若不定方程 （3N+2）^2+4N+2-（B-31）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（3N+2-W）+1 是小因子數，6（3N+3+W）+1是大因子數。

若不定方程 （3N+1）^2-4N-1-（B+5）/36=W^2+W有整數解，

則 6（3N-W）-1 是小因子數，6（3N+1+W）-1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 7對於B=36N-1 形數而言。

若不定方程（3N）^2-N+（B-1）/36=W^2 有整數解，

則 6（3N-W）+1 是小因子數；6（3N+W）-1 是大因子數。

若不定方程 （3N）^2+N+（B-1）/36=W^2 有整數解，

則 6（W-3N）-1 是小因子數；6（W+3N）+1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 8對於B=36N+5 形數而言。

若不定方 （3N）^2+2N+（B-5）/36=W^2+W 有整數解，

則 6（W-3N）+1 是小因子數，6（W+3N+1）-1 是大因子數。

若不定方程 （3N+2）^2+4N+2+（B+31）/36=W^2+W 有整數解，

則 6（W-3N-2）-1 是小因子數，6（W+3N+3）+1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 9對於B=36N+11 形數而言。

若不定方程 （3N+1）^2-N+（B-11）/36=W^2 有整數解，

則 6（W-3N-1）+1 是小因子數，6（W+3N+1）-1是大因子數。

若不定方程 （3N+2）^2+N+(B+25）/36=W2 有整數解，

則 6(W-3N-2）-1 是小因子數，6（W+3N+2）+1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 10 對於B=36N+17 形數而言。

若不定方程（3N+1）^2+2N+1+（B-17）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（W-3N-1）+1 是小因子數；6（W+3N+2）-1 是大因子數。

若不定方程 （3N+1）^2+4N+1+（B+19）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（W-3N-1）-1 是小因子數；6（W+3N+2）+1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 11 對於B=36N+23 形數而言。

若不定方 （3N+2）^2-N+（B-23）/36=W^2有整數解，

則 6（W-3N-2）+1 是小因子數，6（W+3N+2）+1 是大因子數。

若不定方程 （3N+1）^2+N+（B+13）/36=W^2有整數解，

則 6（W-3N-1）-1 是小因子數，6（W+3N+1）+1 是大因子數。

兩式都無解，是素數。

命題 12 對於B=36N+31 形數而言。

若不定方程 （3N+2）^2+2N+2+（B-29）/36=W^2 +W 有整數解，

則 6（W-3N-2）+1 是小因子數，6（W+3N+3）-1是大因子數。

若不定方程 （3N）^2-4N+（B+7）/36=W^2+W有整數解，

則 6（W-3N）-1 是小因子數，6（W+3N+1）+1是大因子數。

兩式都無解，是素數。

試除法 嘗試從2到√N的整數是否整除N。 AKS 質數測試 PRIMES in P 這篇論文提到的方法，是第一個多項式時間的質數測試算法。

費馬測試 利用費馬小定理來測試。 Miller-Rabin 質數測試 歐拉-雅科比測試 對於N，挑選任意的M，測試（M/N）≡M^[(N-1)/2]。如果不成立，則N為合數。否則N有一半的機率是質數。