純超越擴張

設E是域F的一個擴域。對於域E的一個子集合S，如果存在一個n元非零多項式

以及S中互不相同的元素

使得

，那麼稱S在F上是代數相關的(algebracaly dependent)；否則，稱S是代數無關的(algebraically independent)。對於E的一個子集B，如果B在F上是代數無關的且E是F(B) 的代數擴域，那麼B稱為E在F上的一個超越基(transcendentalbasis)。特別地，如果存在E在F上的一個超越基B使得

，那麼稱E是F的一個純超越擴張(purely transcendental extension)。E在F 上的任意兩個超越基都有相同的基數，該基數稱為E在F上的超越次數(transcendence degree)，記作

。超越次數為1的純超越擴張稱為單超越擴張。

例如，域F上n元有理函數域

是F的一個純超越擴域並且超越次數是n。一般地，設E是域F的一個擴域，K是域E的一個擴域，則

。

設K=ℚ

為係數在有理函數域ℚ中的n個變元的有理函數組成的域，因而K是ℚ的一個超越次數為n的純超越擴張。

[transcendental extension feld]

設E是域F的一個擴域。元素

稱為F上的超越元(transcendental elenent)。如果u不是

中任意非零多項式的根。顯然，若

是F上的超越元則

。若E中存在一個F上的超越元，則稱E為F的一個超越擴張。

設擴域K在F'上的超越基為S，若K=F(S)，則稱此域擴張為純超越擴張，K為F的純超越擴域。此時，K與F'上一組未定元X的多項式環F[X]的分式域(商域)F'(X)同構，其中X與S的基數相等。一般地，設K是F的任一擴域，若其超越基為S，則F'(S)是F的純超越擴域，K為F(S)的代數擴域。這樣，一個域擴張可分成兩種特殊的域擴張來研究。 ^[1]