純粹分析的證明

本書是分析嚴格化過程中的一個里程碑，其中波爾查諾首次給出了對分析基礎的正確處理方法.

19世紀初，數學家主要關心兩個重要問題，即歐幾里得平行公設的地位和給數學分析提供嚴密的基礎問題.波爾查諾對此均有建樹，當然，他並不是惟一的一個，也不是第一個關心數學分析基礎的人，但他在此問題上超過了他以前的所有數學家，儘管他們可能比波爾查諾有更豐富的技巧.在《純粹分析的證明》中，波爾查諾致力於如下重要定理的證明:對兩個連續函數f和甲，若f ＜(a) ＜ ＜p＜(a)，且f户＞抓a＞，則在a和a之間存在一個x，使f(x)一抓(x).他首先注意到以前的證明都或多或少地依賴於幾何直觀，這是他極力想擺脱的.這一點表明他在分析基礎嚴格化方面採取了正確的道路.波爾查諾認為該定理的嚴格證明需要預先給出連續函數的可靠定義.他在文中的確給出了一個這樣的定義，這是第一個不牽涉無窮小的、關於函數連續性的定義，因而極為重要，該定義至今仍被採用.在他以後的著作《函數論》第一卷中，他把該定義更精確地表述如下:若取△x足夠小時，如果F(x+x)一F (x)的絕對值小於任一給定的分數1/N，且當△x取更小的值時，仍然如此，則函數F(x)稱為是(在x處)連續的.波爾查諾並且區分了左、右連續.在定理的證明中他利用了一個引理，即建立了有界實數集的最小上界的存在性:如果某一性質M不能適用於一變量x的所有值，但小於某一量u的所有x都具有性質M，則存在一量U，它是所有這樣的量u的最大值.這在後來被證明是實數理論的基石.波爾查諾對這個引理的證明的實質是，把有界區間分成兩部分，而選取包含集合的無窮多個元素的那一部分，然後重複這一手續，直到他得到給定實數集的最小上界為止.德國數學家外爾斯特拉斯(Weierstrass , K. ＜T. W. )在19世紀60年代應用波爾查諾的方法證明了外爾斯特拉斯一波爾查諾定理.

儘管上述兩定理已經顯示了《純粹分析的證明》的重要內容，它還包含有另一同等重要的定理，這被稱為柯西收斂條件.波爾查諾證明了:如果取n充分大時，序列Fi＜(x),Fz＜(x), "." Fn＜(x), "". Fn+.＜(x), ""“的第n項F‑(x)和其後很遠的一項'.,+. ＜(x)之差小於任一已知量，則存在惟一的定值，該序列逼近於它—要多逼近有多逼近.該定理的證明是不完善的，而且也只能如此因為其完善證明需要實數的準確定義，這在當時波爾查諾是不具備的，完善的實數理論直到19世紀下半葉才建立起來.

《純粹分析的證明》是走向分析嚴格化的極為重要的一步，但可惜的是這項工作被忽視達半個世紀之久，直到19世紀下半葉人們才充分認識到它的重要性.

波爾查諾（Bolzano , B.），捷克數學家、哲學家。

1817年出版於布拉格。